[논문 리뷰] Hyperbolic manifolds that fiber algebraically up to dimension 8

Giovanni Italiano, Bruno Martelli외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $5 \leq n \leq 8$ 인 초구형 $n$-다양체에서, $π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 에 대한 전사 준동형사상 $π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 와 유한 생성 핵을 가지는 대수적 $S^1$-섬유화를 갖는 최초의 예를 구성한다. 7차원과 8차원에서는 핵이 유한 표현 가능하므로, 유한 표현 가능한 기본군을 가지나 무한한 베텨리 수 $b_{n-1}$ 를 갖는 초구형 $n$-다양체의 최초의 예가 된다. 이는 무한히 많은 최대질서의 쿠스를 갖는 쌍대 덮개로부터 유래된다.

ABSTRACT

We construct some cusped finite-volume hyperbolic $n$-manifolds $M_n$ that fiber algebraically in all the dimensions $5\leq n \leq 8$. That is, there is a surjective homomorphism $π_1(M_n) o \mathbb Z$ with finitely generated kernel. The kernel is also finitely presented in the dimensions $n=7, 8$, and this leads to the first examples of hyperbolic $n$-manifolds $\widetilde M_n$ whose fundamental group is finitely presented but not of finite type. These $n$-manifolds $\widetilde M_n$ have infinitely many cusps of maximal rank and hence infinite Betti number $b_{n-1}$. They cover the finite-volume manifold $M_n$. We obtain these examples by assigning some appropriate colours and states to a family of right-angled hyperbolic polytopes $P_5, \ldots, P_8$, and then applying some arguments of Jankiewicz, Norin, Wise and Bestvina, Brady. We exploit in an essential way the remarkable properties of the Gosset polytopes dual to $P_n$, and the algebra of integral octonions for the crucial dimensions $n=7,8$.

연구 동기 및 목표

• 유한 체적 초구형 $n$-다양체 ($5 \leq n \leq 8$) 를 구성하여, $π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 에 대한 전사 준동형사상과 유한 생성 핵을 가지는 대수적 섬유화를 갖도록 한다.
• 7차원과 8차원에서 이 준동형사상의 핵이 유한 표현 가능하다는 것을 보여주어, 유한 표현 가능한 기본군을 가지나 무한한 베텔리 수를 갖는 초구형 다양체의 새로운 예를 얻는다.
• 이 다양체들이 유한 체적 초구형 $n$-다양체를 덮으며, 최대질서의 토릭 쿠스가 무한히 많고, 이로 인해 $b_{n-1}$ 이 무한해진다는 것을 보인다.
• 7차원과 8차원에서 오른쪽-각 다면체 $P^n$ 과 고셋 다면체 사이의 이중성과 정수 옥타니온 대수를 이용하여 대칭적인 색칠과 상태를 정의한다.

제안 방법

• 우선 다면체 $P^n \subset \mathbb{H}^n$ 의 면들에 대칭적인 색칠을 사용하여, 초구형 다면체의 복수를 조립하여 $M^n$ 을 구성한다.
• 면들을 'In' 과 'Out' 으로 나누는 상태를 정의하여, 대각선 사상 $f: M^n \to S^1$ 를 유도하고, 이로 인해 $f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 가 유도된다.
• 베스트비나–브라운의 조합적 모스 함수 이론을 적용하여 $f_*$ 의 핵을 분석하고, 특히 그 유한 생성성과 표현 가능성을 분석한다.
• 7차원과 8차원에서 $P^n$ 과 고셋 다면체(예: $n=8$ 에서의 $4_{21}$) 사이의 이중성과 정수 옥타니온 대수를 활용하여 높은 대칭성을 갖는 색칠과 상태를 정의한다.
• 색칠로부터 유도된 궤도 복합체의 연결성과 단순연결성에 기반하여, 7차원과 8차원에서 핵이 유한 표현 가능하다는 것을 검증한다.
• 사상 $f$ 를 쿠스에 제한하여 분석하고, 모든 차원 $n=5,\dots,8$ 에서 적어도 하나의 쿠스에 대해 제한이 영호모토픽임을 증명하여, 덮개에서 무한히 많은 릿지가 존재함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 5 \leq n \leq 8 차원에서 초구형 $n$-다양체가 유한 생성 핵을 가지는 대수적 섬유화를 $S^1$ 에 대해 가지는가?
• RQ2 7차원과 8차원에서 유한 표현 가능한 기본군을 가지나 무한한 베텔리 수 $b_{n-1}$ 를 갖는 이러한 다양체가 존재하는가?
• RQ3 7차원과 8차원에서 고셋 다면체와 이중성을 가지는 오른쪽-각 초구형 다면체의 대칭 색칠과 정수 옥타니온을 이용하여 이 구성이 실현 가능한가?
• RQ4 쿠스 제한이 영호모토픽이 아니라는 조건 없이 이러한 섬유화를 달성할 수 있는가, 아니면 고차원에서 이는 위상적 장벽인가?
• RQ5 무한 덮개 $\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ 의 정확한 위상적 및 호모로지적 구조는 무엇인가? 특히 베텔리 수와 쿠스 구조에 대해 설명하라.

주요 결과

• 모든 $5 \leq n \leq 8$ 에 대해, 유한 체적 초구형 $n$-다양체 $M^n$ 과 사상 $f: M^n \to S^1$ 가 존재하여, $f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 가 전사이고 핵이 유한 생성됨을 보장한다.
• 7차원과 8차원에서 $f_*$ 의 핵이 유한 표현 가능하므로, $\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ 는 유한 표현 가능한 기본군을 가지나 무한한 베텔리 수 $b_{n-1}$ 을 갖는 초구형 $n$-다양체가 된다.
• 덮개 $\widetilde{M}^n$ 은 최대질서의 토릭 쿠스가 무한히 많고, 이는 $b_{n-1}(\widetilde{M}^n) = \infty$ 를 의미하므로, $\pi_1(\widetilde{M}^n)$ 은 유형 $\mathrm{F}_{n-1}$ 이 아니다.
• $M^8$ 의 오일러 지표는 $278528$ 이며, 쿠스는 $65280$ 개이고, 베텔리 수는 $b_1 = 365$, $b_2 = 33670$, $b_3 = 583290$, $b_4 = 1783226$, $b_5 = 1346030$, $b_6 = 456595$, $b_7 = 65279$, $b_8 = 0$ 이다.
• 모든 차원 $n=5,\dots,8$ 에서 적어도 하나의 쿠스에 대해 $f$ 의 제한이 영호모토픽임을 보여, 덮개 $\widetilde{M}^n$ 에서 무한히 많은 릿지가 존재함을 의미하며, 이는 기하학적으로 무한함을 의미한다.
• $M^n$ 의 기본군은 $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ 의 유한지수 부분군이며, $n=7,8$ 에서 핵 $\ker f_*$ 는 $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ 의 유한 표현 가능한 부분군으로서, 무한한 $b_{n-1}$ 을 갖는다. 이는 $\mathrm{F}_2$ 이지만 $\mathrm{F}_{n-1}$ 은 아님을 보여준다.