[논문 리뷰] Hyperbolic metrics, measured foliations and pants decompositions for non-orientable surfaces

Athanase Papadopoulos, Robert Penner|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 비가역 표면에 대해 Fenchel-Nielsen, Dehn-Thurston, Hatcher-Thurston 정리의 유사 정리를 수립하며, 1방향 곡선에 대해 비틀림 수를 포함하지 않는 수정된 Fenchel-Nielsen 좌표를 도입하고, 1방향 곡선에 대해 비틀림을 생략함으로써 Dehn-Thurston 좌표를 적응시켰으며, 1방향 곡선을 고려하기 위해 Hatcher-Thurston 이동 집합에 두 가지 새로운 이동을 추가한다. 주요 기여는 테이히뮐러 공간과 측도가 있는 폴로노미아의 완전하고 최소한의 매개변수화이며, 컴act support를 가진 프로젝티브 측도가 있는 폴로노미아의 조각별 선형 구로 테이히뮐러 공간의 컴팩티피케이션을 제공한다.

ABSTRACT

We provide analogues for non-orientable surfaces with or without boundary or punctures of several basic theorems in the setting of the Thurston theory of surfaces which were developed so far only in the case of orientable surfaces. Namely, we provide natural analogues for non-orientable surfaces of the Fenchel-Nielsen theorem on the parametrization of the Teichm\\"uller space of the surface, the Dehn-Thurston theorem on the parametrization of measured foliations in the surface, and the Hatcher-Thurston theorem, which gives a complete minimal set of moves between pair of pants decompositions of the surface. For the former two theorems, one in effect drops the twisting number for any curve in a pants decomposition which is 1-sided, and for the latter, new elementary moves on pants decompositions are introduced.

연구 동기 및 목표

• 기존에 가역 표면에서만 유효한 것으로 알려진 테이히뮐러 이론의 기초 정리들을 비가역 표면으로 확장하기 위해.
• 문헌에서 비가역 표면에 대한 테이히뮐러 공간과 측도가 있는 폴로노미아의 체계적인 매개변수화가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 1방향 곡선의 비틀림 매개변수를 생략하는 일반화된 Fenchel-Nielsen 정리를 도입하기 위해.
• 1방향 곡선에 대해 비틀림 수를 생략하는 일반화된 Dehn-Thurston 정리를 제공하기 위해.
• 비가역 표면의 팬츠 분해에 대한 기본 이동 집합을 두 가지 새로운 이동으로 확장하여, 팬츠 분해 집합이 이동에 대해 연결됨을 보장하기 위해.

제안 방법

• 비가역 표면의 팬츠 분해에서 2방향 곡선에 대한 히persurfaces의 길이와 비틀림 수만을 사용하는 Fenchel-Nielsen 좌표를 적응시킨다.
• 곡선의 방향성과 기저점에 따라 의존하는 새로운 비틀림 수 정의를 도입하여, 가역 표면의 경우를 일반화한다.
• 1방향 곡선이나 구멍을 나타내는 곡선에 대해 교차 수와 비틀림 수를 생략함으로써 Dehn-Thurston 매개변수화를 수정한다.
• Hatcher-Thurston 이동 집합에 두 가지 새로운 기본 이동을 추가한다: 하나는 1방향 곡선을 다른 1방향 곡선으로 대체하는 것이며, 다른 하나는 두 개의 1방향 곡선을 2방향 곡선으로 또는 그 반대로 대체하는 것이다.
• 컴팩트 지지 집합을 가진 프로젝티브 측도가 있는 폴로노미아의 조각별 선형 구를 사용하여 테이히뮐러 공간의 컴팩티피케이션을 구성한다.
• 경계점 근처의 국소 차트를 등거리 폴로노미아를 통해 정의하여, 측도가 있는 폴로노미아와 팬츠 분해에 수직인 측도가 있는 폴로노미아의 부분집합 사이의 위상동형사를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1방향 곡선에 대해 비틀림 수가 없는 상황에서 Fenchel-Nielsen 정리는 비가역 표면으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비가역 표면에서 측도가 있는 폴로노미아의 올바른 매개변수화는 무엇이며, 이는 가역 표면에서의 Dehn-Thurston 정리와 어떻게 다를까?
• RQ3 기존의 Hatcher-Thurston 이동 외에 비가역 표면의 팬츠 분해 집합이 기본 이동에 대해 연결됨을 보장하기 위해 추가로 필요한 이동은 무엇인가?
• RQ4 비가역 표면의 경우 Thurston 경계가 어떻게 실현되며, 컴팩트 지지 집합을 가진 프로젝티브 측도가 있는 폴로노미아의 공간의 위상적 구조는 어떠한가?
• RQ5 비가역 표면의 테이히뮐러 공간을 컴팩티피케이션하는 구의 차원은 얼마이며, 이는 팬츠 분해에 포함된 1방향 곡선과 2방향 곡선의 수에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 일반화된 Fenchel-Nielsen 정리는 팬츠 분해에 포함된 곡선의 히퍼볼릭 길이와 2방향 곡선에 대한 비틀림 수만을 사용하여 비가역 표면의 테이히뮐러 공간을 매개변수화하며, 1방향 곡선에 대해서는 비틀림 수를 생략한다.
• 일반화된 Dehn-Thurston 정리는 교차 수와 비틀림 수를 사용하여 측도가 있는 폴로노미아를 매개변수화하며, 1방향 곡선과 구멍을 나타내는 곡선에 대해서는 둘 다 생략된다.
• 일반화된 Hatcher-Thurston 정리는 고전적인 두 개의 이동 외에 두 가지 새로운 기본 이동을 추가하여, 비가역 표면의 모든 팬츠 분해 집합이 이러한 이동에 대해 연결됨을 보장한다.
• 비가역 표면의 테이히뮐러 공간에 대한 Thurston 경계는 $\#{\mathcal{P}}_1 + 2\#{\mathcal{P}}_2 - 1$ 차원의 조각별 선형 구로 실현되며, 여기서 $\#{\mathcal{P}}_1$과 $\#{\mathcal{P}}_2$는 팬츠 분해에 포함된 1방향 곡선과 2방향 곡선의 수이다.
• 컴팩트 지지 집합을 가진 프로젝티브 측도가 있는 폴로노미아의 공간인 $\mathcal{PF}_0(S)$는 테이히뮐러 공간을 닫힌 볼로 컴팩티피케이션하는 닫힌 조각별 선형 볼을 형성하며, 이 경계 위에서 매핑 클래스 군이 연속적으로 작용한다.