[논문 리뷰] Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space

Haizhong Li, Botong Xu|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 13.

Point processes and geometric inequalities인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초구형 공간 H^{n+1}에서 초구형 p-합을 도입하여, 매끄럽고 초구형으로 볼록한 영역에 대한 새로운 초구형 p-브룬너-민코프스키 이론을 수립한다. 새로운 민코프스키 유형의 합을 정의하고 수정된 쿠르마스팅랄의 변동을 분석함으로써, 측도가 짝수일 경우 모든 p ∈ (−∞, +∞)에 대해 초구형 p-민코프스키 문제를 해결하고, 적절한 조건 하에 p ∈ (−n, +∞)에 대해 초구형 p-크리스토펠-민코프스키 문제를 해결하며, 초구형 설정에서 핵심적인 브룬너-민코프스키 및 민코프스키 부등식을 증명한다.

ABSTRACT

The classical Brunn-Minkowski theory studies the geometry of convex bodies in Euclidean space by use of the Minkowski sum. It originated from H. Brunn's thesis in 1887 and H. Minkowski's paper in 1903. Because there is no universally acknowledged definition of the sum of two sets in hyperbolic space, there has been no Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space since 1903. In this paper, for any $p>0$ we introduce a sum of two sets in hyperbolic space, and we call it the hyperbolic $p$-sum. Then we develop a Brunn-Minkowski theory in the hyperbolic space by use of our hyperbolic $p$-sum, and we call it the horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory. Let $K$ be any smooth horospherically convex bounded domain in the hyperbolic space $\mathbb{H}^{n+1}$. Through calculating the variation of the $k$-th modified quermassintegral of $K$ by use of our hyperbolic $p$-sum, we introduce the horospherical $k$-th $p$-surface area measure associated with $K$ on the unit sphere $\mathbb{S}^n$. For $k=0$, we introduce the horospherical $p$-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $p$-surface area measure problem. Through designing and studying a new volume preserving flow, we solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Minkowski problem for all $p \in (-\infty,+\infty)$ when the given measure is even. For $1 \leq k \leq n-1$, we introduce the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $k$-th $p$-surface area measure problem. We solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem for $p\in(-n, +\infty)$ under appropriate assumption on the given measure. We also study the Brunn-Minkowski inequalities and the Minkowski inequalities for domains in the hyperbolic space.

연구 동기 및 목표

• 비유클리드 기하학으로 인해 표준 민코프스키 합이 없는 초구형 공간에서 브룬너-민코프스키 이론을 수립하기 위해.
• 초구형 볼록성과 민코프스키 노름 성질을 이용하여 H^{n+1}의 집합에 대한 새로운 기하 합인 초구형 p-합을 정의하기 위해.
• 주어진 측도가 짝수일 경우 모든 p ∈ (−∞, +∞)에 대해 초구형 p-민코프스키 문제를 제시하고 해결하기 위해.
• 적절한 측도 조건 하에 1 ≤ k ≤ n−1 및 p ∈ (−n, +∞)에 대해 이론을 초구형 p-크리스토펠-민코프스키 문제로 확장하기 위해.
• 초구형 볼록 영역에 대해 초구형 p-브룬너-민코프스키 및 p-민코프스키 부등식을 유도하고 증명하기 위해.

제안 방법

• 초구형 공간 H^{n+1}의 초구형 모델을 사용하여 미래의 시간적 벡터와 민코프스키 노름 N을 활용한 민코프스키 유형의 구성으로 초구형 p-합을 도입한다.
• 초구형 p-합에 대한 k번째 수정된 쿠르마스팅랄의 변동을 통해 초구형 k번째 p-표면적 측도를 정의한다.
• 초구형 p-민코프스키 문제의 해 존재성을 증명하기 위해 체적 보존 곡률 흐름을 구축한다.
• 1 ≤ p ≤ 2에 대해 향후 시간적 벡터 위에서 민코프스키 노름 N의 볼록성을 이용하여 핵심 부등식을 증명한다.
• AM-GM 부등식과 코시하이퍼볼릭 거리에 관련된 기하 항등식을 적용하여 가중 체적의 적분 공식을 유도한다.
• 초구형 p-브룬너-민코프스키 부등식을 유도하기 위해 기하학적 구의 반경을 초구형 p-합에 따른 반경의 조합과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유클리드 기하학으로 인해 표준 민코프스키 합이 없는 초구형 공간에서 일관된 민코프스키 유형의 합을 정의할 수 있는가?
• RQ2 주어진 측도가 짝수일 경우 모든 p ∈ (−∞, +∞)에 대해 초구형 p-민코프스키 문제가 해를 가지는가?
• RQ3 초구형 p-크리스토펠-민코프스키 문제가 p ∈ (−n, +∞)에 대해 어떤 조건에서 해를 가지는가?
• RQ4 p-설정에서 고전적인 브룬너-민코프스키 및 민코프스키 부등식의 초구형 해석은 무엇인가?
• RQ5 초구형 p-브룬너-민코프스키 추측에서 원점 대칭 조건을 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 체적 보존 곡률 흐름을 사용하여 주어진 측도가 짝수일 경우 모든 p ∈ (−∞, +∞)에 대해 초구형 p-민코프스키 문제를 해결하였다.
• 주어진 측도에 대해 적절한 조건을 만족할 경우 p ∈ (−n, +∞)에 대해 초구형 p-크리스토펠-민코프스키 문제를 해결하였으며, 이는 고전적 크리스토펠-민코프스키 문제를 초구형 공간으로 확장한 것이다.
• 초구형 볼록 영역에 대해 초구형 p-브룬너-민코프스키 부등식이 성립하며, 등호가 성립하는 것은 두 영역이 초구형으로 합동일 때에 한한다.
• 1 ≤ p ≤ 2일 경우 민코프스키 노름 N은 향후 시간적 벡터 위에서 볼록성을 가지며, 이는 빛의 원뿔의 볼록성을 이용한 p-브룬너-민코프스키 부등식 증명에 활용된다.
• 코시하이퍼볼릭 거리에 관련된 적분 항등식을 사용하여 원점에서 중심이 아닌 기하학적 구의 가중 체적을 유도하였으며, 이는 p-합 구성의 비자명성을 확인한다.
• 역예를 통해 초구형 p-브룬너-민코프스키 추측에서 원점 대칭 조건을 제거할 수 없음을 보였으며, 중심이 원점에서 멀리 떨어져 있을 경우 부등식이 성립하지 않음을 확인하였다.