[논문 리뷰] Hyperbolic polynomials and the Dirichlet problem

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 Gårding의 초타원형 다항식 이론에 대한 자가 포함된 서술을 제시하며, 고유값 함수의 실해석적 배열을 수립하고, PDE 이론에 필수적인 단조성 성질을 증명한다. 이는 Gårding 이론이 완전 비선형 PDE에 대해 자연스럽게 하위방정식을 생성함으로써, $(p,E)$-편평형 도메인에서 딜리클레 문제의 유일한 연속해를 보장함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper presents a simple, self-contained account of Garding's theory of hyperbolic polynomials, including a recent convexity result of Bauschke-Guler-Lewis-Sendov and an inequality of Gurvits. This account also contains new results, such as the existence of a real analytic arrangement of the eigenvalue functions. In a second, independent part of the paper, the relationship of Garding's theory to the authors' recent work (arXiv:0710.3991) on the Dirichlet problem for fully nonlinear partial differential equations is investigated. Let p be a homogeneous polynomial of degree m on S^2(R^n) which is hyperbolic with respect to the all positive directions A \geq 0. Then p has an associated eigenvalue map lambda:S^2(R^n) o R^m, defined modulo the permutation group acting on R^m. Consequently, each closed symmetric set E of R^m induces a second-order p.d.e. by requiring, for a C^2-function u in n-variables, that (D^2 u)(x) lie in the boundary of E for all x. Assume that E + (R_+)^m is contained in E. A main result is that for smooth domains in R^n whose boundary is suitably (p,E)-pseudo-convex, the Dirichlet problem has a unique continuous solution for all continuous boundary data. This applies to a vast collection of examples the most basic of which are the m distinct branches of the equation p(D^2 u) =0. In the authors' recent extension of results from euclidean domains to domains in riemannian manifolds (arXiv:0907.1981), a new global ingredient, called a monotonicity subequation, was introduced. It is shown in this paper that for every polynomial $p$ as above, the associated Garding cone is a monotonicity cone for all branches of the the equation p(Hess u) = 0 where Hess u denotes the riemannian Hessian of u.

연구 동기 및 목표

• Gårding의 초타원형 다항식 이론을 새로운 고유값 해석성 결과를 활용해 자가 포함된 기초적인 서술을 제공한다.
• Gårding 원소의 덧셈에 따른 고유값 함수의 단조성 성질을 수립하여 PDE 응용에 핵심적인 요소로 삼는다.
• Gårding 이론을 하위방정식을 통한 완전 비선형 이阶 PDE의 딜리클레 문제로 연결한다.
• Riemannian 다양체에서 방정식 $p(\mathrm{Hess}\,u) = 0$에 대해 Gårding 원소가 단조성 원소로 작용함을 보인다.
• Gurvits의 부등식을 Gårding의 기본 부등식의 개선으로 증명하며, 등호 조건을 명확히 한다.

제안 방법

• Gårding 원소의 원소에 의한 이동 하에서 고유값이 실해석적 매개변수화를 갖는 새로운 정리(정리 2.9)를 도입한다.
• 대수곡선의 고전적 균일화 매개변수 정리를 사용하여 고유값 함수의 해석성과 엄밀한 단조성을 확립한다.
• Bauschke-Guler-Lewis-Sendov의 볼록성 결과를 적용하여 Gårding 원소가 볼록 집합으로서의 주요 성질을 유도한다.
• 닫힌 대칭 집합 $E \subset \mathbb{R}^m$ 에 대해 고유값 사상 $\lambda: \mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}^m$ 을 통한 하위방정식을 구성함으로써, $\lambda(D^2u) \in \partial E$ 형태의 PDE를 이끌어낸다.
• 고유값의 단조성에 기반하여 $F + P \subset F$ 의 양성 조건을 검증함으로써 하위방정식의 구조를 보장한다.
• 방향 도함수의 반복 적용과 용량 기반의 경계를 활용하여 Gurvits의 부등식을 증명함으로써 Gårding의 원래 부등식을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gårding 원소의 원소에 의한 이동 하에서 초타원형 다항식의 고유값 함수는 전역적으로 실해석 함수로 배열될 수 있는가?
• RQ2 양의 정부호 행렬에 대한 고유값의 단조성 성질이 전체 Gårding 원소로 확장되어 비선형 PDE의 하위방정식 구축에 기여하는가?
• RQ3 다음 조건에서 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 에서 방정식 $p(D^2u) = 0$ 의 딜리클레 문제는 유일한 연속해를 갖는가?
• RQ4 Gårding 이론은 Riemannian 다양체에서 방정식 $p(\mathrm{Hess}\,u) = 0$ 에 대해 어떤 방식으로 단조성 원소를 생성하는가?
• RQ5 Gurvits의 부등식은 방향 도함수의 반복 적용과 용량 추정을 통해 Gårding의 부등식을 개선할 수 있는가?

주요 결과

• Gårding 원소 $b \in \Gamma$ 에 대해 고유값 함수 $\lambda_k(x + tb)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 엄밀한 증가, 실해석적 사상이며 실해석적 역함수를 갖는다.
• Gårding 원소 $\Gamma$ 는 볼록이며, 모든 $b \in \Gamma$ 에 대해 $\lambda_k^\uparrow(x + b) > \lambda_k^\uparrow(x)$ 를 만족하는 단조성 성질을 갖는다. 이는 하위방정식 이론에 필수적이다.
• 모든 닫힌 대칭 집합 $E \subset \mathbb{R}^m$ 에 대해 $E + \mathbb{R}_+^m \subset E$ 를 만족할 때, $\lambda(D^2u) \in \partial E$ 로 정의된 딜리클레 문제의 해는 경계가 $(p,E)$-편평형인 매끄러운 도메인 $\Omega$ 에서 유일한 연속해를 갖는다.
• Gårding 원소 $\overline{\Gamma}$ 는 Riemannian 다양체에서 방정식 $p(D^2u) = 0$ 의 모든 $m$ 개의 서로 다른 분지에 대해 단조성 원소로 작용한다.
• Gurvits의 부등식은 $\frac{1}{m^m} \mathrm{Cap}(p) \leq \frac{1}{m!} p^{(m)}_{b_1,\dots,b_m}$ 를 만족하며, Gårding 결과와 동일한 조건에서 등호가 성립함을 보여 Gårding의 부등식을 강화한다.
• 용량 $\mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_m}(p)$ 는 유도적 경계 $\frac{1}{k^k} \mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_k}(p^{(m-k)}_{b_{k+1},\dots,b_m}) \leq \frac{1}{k(k-1)^{k-1}} \mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_{k-1}}(p^{(m-k+1)}_{b_k,\dots,b_m})$ 를 만족하며, 용량 추정의 재귀적 개선을 제공한다.