[논문 리뷰] Hyperbolic saddle measures and laminarity for holomorphic endomorphisms of $P^2C$

Sandrine Daurat|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℙ²ℂ에서 허브리틱 손실형 측도가 있는 매력 집합 위에 지정된 허브리틱 손실형 측도 근처에서 허브리틱 엔도모르피즘의 그린 전류의 레이어성 구조를 확립한다. 베드포드와 조너슨의 결과를 일반화하며, 불변 측도 ν = T ∧ Tᵘ가 최대 엔트로피 log(d)를 가지며, 주기점들이 등분포하고, 불안정 다변수 위에서의 조건부 측도가 그린 전류 T에 의해 유도됨을 증명한다. 이는 튜브형 이웃 및 작은 위상 차수 또는 자코비안 조건을 가정할 때 성립한다.

ABSTRACT

We study the laminarity of the Green current of endomorphisms of $P^2C$ near hyperbolic measures of saddle type. When these measures are supported by attracting sets, we prove that the Green current is laminar in the basin of attraction and we obtain new ergodic properties. This generalizes some results of Bedford and Jonsson on regular polynomial mappings in $C^2$.

연구 동기 및 목표

• ℙ²ℂ에서 허브리틱 엔도모르피즘의 매력 영역 내에서 추적 측도 σ_T의 거의 모든 점에서의 동역학적 행동을 이해하는 것.
• 베드포드와 조너슨의 정규 다항식 맵에 대한 레이어성 및 등분포 결과를 비균일 허브리틱, 손실형 측도로 확장하는 것.
• 불변 측도 ν = T ∧ Tᵘ가 매력 영역 내에서 최대 엔트로피 log(d)를 갖는 유일한 측도임을 증명하는 것.
• 불안정 다변수 위에서 ν의 분해가 그린 전류 T에 의해 유도됨을 보여주며, 무한원선의 경우와 유사한 구조를 확장하는 것.

제안 방법

• f가 곡선 ℓ의 튜브형 이웃 U를 포함하는 포획 영역 U를 갖는다고 가정하여, U가 유클리드 재구성 가능함을 보장한다.
• 매력 집합 𝒜 근처에서 f에 대해 작은 위상 차수(Sd_t) 또는 작은 자코비안(SJ) 조건을 부과한다.
• 불변 전류 Tᵘ ∈ ℂ_{(1,1)}(U)를 구성하여 (1/d)f_*Tᵘ = Tᵘ를 만족시키며, 이는 불안정 방향을 나타낸다.
• ν = T ∧ Tᵘ가 엔트로피 log(d)를 가지며 혼합성, 손실형, 평형 측도 μ_eq로부터 멀리 떨어져 있는 측도임을 증명한다.
• 매개변수 α ∈ V에 따라 매개변수화된 엔도모르피즘 F_α,θ의 가중 가중치를 통해 전류의 가중치 R_α,A를 구성하고, 그 약한 극한을 분석한다.
• 디낭 및 다른 이들의 전류 및 그 역상에 관한 결과를 적용하여, 극한 전류 R_1이 원래 전류 R을 복원함을 보여, 레이어성의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℙ²ℂ에서 허브리틱 손실형 측도의 매력 영역 내에서 허브리틱 엔도모르피즘의 그린 전류 T가 언제 레이어 구조를 갖는가?
• RQ2 이러한 측도에 대해 매력 영역 내 주기점들의 등분포가 성립하는가? 그리고 이는 불변 측도 ν = T ∧ Tᵘ로 수렴하는가?
• RQ3 불안정 다변수 위에서 ν의 분해가 베드포드-조너슨의 경우와 마찬가지로 그린 전류 T에 의해 유도되는가?
• RQ4 비균일 허브리틱 설정에서 T의 레이어성은 균일 허브리틱 또는 정규 다항식 맵에서의 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 예측 가능한 f^{-n}(L)의 종수 성장률을 얼마나 제어할 수 있는가? 이는 그린 전류 T의 레이어성에 영향을 미친다.

주요 결과

• 불변 측도 ν = T ∧ Tᵘ는 매력 집합 𝒜의 매력 영역 𝔹_𝒜 내에서 최대 엔트로피 log(d)를 갖는 유일한 측도이다.
• 정규화된 주기점 측도의 수열 ν_n = (1/d^n)∑_{κ∈Per_n ∩ 𝔹_𝒜} δ_κ이 n → ∞일 때 약한-* 수렴으로 ν로 수렴한다.
• 불안정 다변수 위에서 ν의 조건부 측도는 그린 전류 T에 의해 유도되며, 무한원선의 경우에 대한 베드포드-조너슨 결과를 일반화한다.
• 튜브형 이웃 및 작은 위상 차수 또는 자코비안 조건을 가정할 경우, 매력 영역 내에서 그린 전류 T는 레이어 구조를 갖는다.
• 페신 상자에서 유도된 레이어 전류 T^s_𝒫의 구성은 M(T^s_𝒫 ∧ Tᵘ) ≥ ν(𝒫)(1−ε)νᵘ(𝒫)를 만족하며, 균일 레이어 구조 가능성에 대한 잠재적 증거를 제공한다.
• 작은 위상 차수 조건 하에서 f^{-n}(L) ∩ U의 종수는 O(n d^n)로 성장하지만, 작은 손잡이의 수는 O(d^n)으로 유계이므로, 레이어성에 대해 부분적인 제어가 가능하다.