[논문 리뷰] Hyperbolicity of maximal entropy measures for certain maps isotopic to Anosov

Carlos F. Álvarez|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 중심(bundle)이 2차원인 C² 부분적으로 초구형(diffeomorphism)의 에르고딕 최대 엔트로피 측도의 초구형성(hyperbolicity)을 확립한다. 이는 원환면 𝕋ᵈ 위에서 앙소프(diffeomorphism)와 동치임을 뜻하는 위상적 변형을 거친다. 페신 이론과 엔트로피 분해를 통해, 측도의 엔트로피가 중심 요소 맵의 위상 엔트로피를 초과할 경우, 어떤 그러한 측도도 양과 음의 중심 리아푸노프 지수를 모두 가져야 하며, 따라서 초구형임을 증명한다. 이는 고차원 중심 구조에서 최대 엔트로피 측도의 초구형 성격에 대한 핵심 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We prove the hyperbolicity of ergodic maximal entropy measures for a class of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^{d}$, which have a compact two-dimensional center foliation.

연구 동기 및 목표

• 𝕋ᵈ 위의 부분적으로 초구형인 다발이 2차원 중심을 가지는 다발에 대해, 에르고딕 최대 엔트로피 측도가 초구형인지 여부를 규명하는 것.
• 이전에 1차원 중심 다발에 대해 확립된 최대 엔트로피 측도 결과를 2차원 컴act 중심 리듬(foliation)의 경우로 확장하는 것.
• 그러한 측도가 양과 음의 중심 리아푸노프 지수를 모두 가져야 하는 조건을 설정하는 것.
• 중심 요소 맵과 그 위상 엔트로피가 불변 측도의 엔트로피를 제약하는 데서의 역할을 분석하는 것.

제안 방법

• 위상 엔트로피와 측도 이론적 엔트로피를 연결하기 위해 변분 원리를 활용한다.
• 페신 이론과 레드라피에르-영 엔트로피 공식을 적용하여 불안정 다발을 따라 엔트로피를 분해한다.
• 타히지비-양 엔트로피 부등식을 사용하여 불안정 다발을 따라 부분 엔트로피를 요소 맵의 엔트로피로 경계한다.
• f와 그 선형 앙소프 모델 A 사이의 반직선(conjugacy)에서 유도된 전역 호로노미 맵(global holonomy maps)을 사용하여 기하적 구조를 유지한다.
• 뤼엘의 부등식을 적용하여 양의 리아푸노프 지수의 합을 측도 이론적 엔트로피로 경계한다.
• 모순 증명을 활용: 음이 아닌 중심 지수를 가진다고 가정하면 엔트로피가 htop(Ac)로 제한되며, 이는 hμ(f) > k₀라는 가정과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝕋ᵈ 위의 C² 부분적으로 초구형 다발이 2차원 중심 다발을 가지는 다발에 대해, 에르고딕 최대 엔트로피 측도가 초구형인 조건은 무엇인가?
• RQ2 비음성 중심 리아푸노프 지수를 가진 측도의 엔트로피가 중심 요소 맵의 위상 엔트로피를 초과할 수 있는가?
• RQ3 중심 다발이 2차원이고 시스템이 앙소프 다발과 동치일 경우, 최대 엔트로피 측도의 초구형성이 유지되는가?
• RQ4 중심 리듬의 구조가 최대 엔트로피 측도의 리아푸노프 스펙트럼에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• hμ(f) > k₀인 임의의 에르고딕 불변 측도 μ에 대해, 여기서 k₀ = htop(Ac)이면, 양과 음의 중심 리아푸노프 지수를 모두 가져야 한다.
• 모든 중심 리아푸노프 지수가 음이 아닌 경우, hμ(f) = hπ*μ(fc) ≤ htop(fc) = htop(Ac)가 되며, 이는 hμ(f) > k₀와 모순된다.
• 따라서 max{λc₁, 0} + max{λc₂, 0} > 0이 되어 적어도 하나의 양의 중심 지수를 가져야 한다.
• 마찬가지로 f⁻¹을 고려할 때, max{−λc₁, 0} + max{−λc₂, 0} > 0이 되어 적어도 하나의 음의 중심 지수를 가져야 한다.
• 결국, μ는 양과 음의 중심 리아푸노프 지수를 모두 가지며 초구형인 것으로 된다.
• 특히, 이러한 시스템의 모든 최대 엔트로피 측도는 초구형이다.