[논문 리뷰] Hypercomputation: computing more than the Turing machine

Toby Ord|ArXiv.org|2002. 09. 25.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 54인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 튜링 기계가 계산 가능성의 기본적 한계를 정한다는 광범위한 믿음을 도전하며, 튜링 기계의 한계를 초월하는 모델을 다루는 하이퍼컴putation을 프레임워크로 제시한다. 비고전적 계산 모델을 조사하고 이들의 이론적 및 물리적 실현 가능성 분석을 통해, 고델의 불완전성 정리와 케이틴의 알고리즘적 난수성에 대한 영향을 약화시킨다.

ABSTRACT

Due to common misconceptions about the Church-Turing thesis, it has been widely assumed that the Turing machine provides an upper bound on what is computable. This is not so. The new field of hypercomputation studies models of computation that can compute more than the Turing machine and addresses their implications. In this report, I survey much of the work that has been done on hypercomputation, explaining how such non-classical models fit into the classical theory of computation and comparing their relative powers. I also examine the physical requirements for such machines to be constructible and the kinds of hypercomputation that may be possible within the universe. Finally, I show how the possibility of hypercomputation weakens the impact of Godel's Incompleteness Theorem and Chaitin's discovery of 'randomness' within arithmetic.

연구 동기 및 목표

• 교회-튜링 논법이 튜링 기계가 계산 가능성의 궁극적 한계임을 암시한다는 오해를 해소하기 위해.
• 다양한 하이퍼컴퓨테이셔널 모델을 조사하고 분류하며, 고전적 계산 가능성 이론 내에서 이들의 상대적 계산 능력을 평가하기 위해.
• 하이퍼컴퓨테이셔널 시스템의 물리적 타당성과 그 우주 내 실현 가능성 조사하기 위해.
• 하이퍼컴퓨테이션이 수학적 논리의 기초적 결과, 특히 고델의 불완전성 정리와 케이틴의 알고리즘적 난수성에 어떤 영향을 미치는지 조사하기 위해.
• 하이퍼컴퓨테이션과 고전적 계산 가능성 간의 관계를 명확히 하고, 일관된 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 무한 시간 튜링 기계, 아날로그 기계, 오라클 기계 등을 포함한 하이퍼컴퓨테이셔널 모델을 체계적으로 분류한다.
• 형식적 계산 가능성 이론을 사용하여 각 모델의 계산 능력을 표준 튜링 기계와 비교하여 분 析한다.
• 모델이 비물리적 또는 비구성가능한 자원(예: 무한한 시간, 정밀한 측정)이 필요한지 평가하여 물리적 실현 가능성 여부를 평가한다.
• 수학적 논리의 결과를 적용하여 하이퍼컴퓨테이션이 정지 문제와 같은 결정 불가능 문제를 해결할 수 있음을 보여준다.
• 논리적 및 정보 이론적 프레임워크를 사용하여 하이퍼컴퓨테이션이 고델리안 불완전성과 알고리즘적 난수성에 미치는 영향을 조사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 튜링 기계의 능력 밖의 문제를 해결할 수 있는 계산 모델이 존재할 수 있는가?
• RQ2 하이퍼컴퓨테이셔널 시스템을 구축하는 데 있어 이론적 및 물리적 제약은 무엇인가?
• RQ3 하이퍼컴퓨테이션은 고델의 불완전성 정리의 타당성과 적용 범위에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 하이퍼컴퓨테이션은 케이틴이 기술한 바와 같이 산술에서 알고리즘적 난수성을 어느 정도 감소시키거나 제거하는가?
• RQ5 하이퍼컴퓨테이셔널 모델는 고전적 계산 가능성 이론과 어떻게 통합되거나 확장되는가?

주요 결과

• 하이퍼컴퓨테이션은 교회-튜링 논법이 결정 불가능 문제를 해결할 수 있는 기계의 존재를 배제하지 않음을 보여준다. 예를 들어 정지 문제를 해결할 수 있다.
• 무한 시간 튜링 기계와 같은 일부 하이퍼컴퓨테이셔널 모델은 튜링 기계가 도달할 수 없는 함수, 비결정적 실수까지 계산할 수 있다.
• 논문은 하이퍼컴퓨테이션이 고델리안 결정 불가능 문장의 진리값을 결정할 수 있음을 보여주며, 이로 인해 형식 체계 내에서 불완전성의 기초적 영향력이 약화됨을 시사한다.
• 알고리즘적 난수 수열의 계산이 가능해짐에 따라 하이퍼컴퓨테이션은 케이틴의 주장, 즉 난수가 산술 내에서 본질적으로 존재하고 계산 불가능하다는 주장을 도전한다.
• 유한 자원과 측정의 한계와 같은 물리적 제약은 대부분의 하이퍼컴퓨테이셔널 모델이 실제 우주에서 실현 가능한 데에 제한을 둔다.
• 적절히 형식화된 경우 이론적 하이퍼컴퓨테이셔널 모델는 고전적 논리와 계산 가능성과 일관되며, 이는 계산 가능성 프레임워크의 일관된 확장임을 시사한다.