[논문 리뷰] Hypercontractivity and logarithmic Sobolev Inequality for non-primitive quantum Markov semigroups and estimation of decoherence rates

Ivan Bardet, Cambyse Rouzé|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Random Matrices and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비원시적 양자 마르코프 세미군(group) (QMS)에서 초수축성 및 로그-소볼레프 부등식(LSI)을 위한 새로운 프레임워크를 제안하며, 융합된 $\rL_p$ 노름을 사용하여 이전의 원시적 경우의 결과를 일반화한다. 약한 초수축성은 약한 LSI를 함의함을 증명하고, 비영향적인 원시적 QMS에서는 강한 LSI 및 초수축성이 성립하지 않음을 보이며, 완전히 유계(CB) 노름을 통한 디코herence 속도에 대한 일반적인 상계를 유도함으로써, 텐서화된 시스템으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We generalize the concepts of weak quantum logarithmic Sobolev inequality (LSI) and weak hypercontractivity (HC), introduced in the quantum setting by Olkiewicz and Zegarlinski, to the case of non-primitive quantum Markov semigroups (QMS). The originality of this work resides in that this new notion of hypercontractivity is given in terms of the so-called amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms introduced recently by Junge and Parcet in the context of operator spaces theory. We make three main contributions. The first one is a version of Gross' integration lemma: we prove that (weak) HC implies (weak) LSI. Surprisingly, the converse implication differs from the primitive case as we show that LSI implies HC but with a weak constant equal to the cardinal of the center of the decoherence-free algebra. Building on the first implication, our second contribution is the fact that strong LSI and therefore strong HC do not hold for non-trivially primitive QMS. This implies that the amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms are not uniformly convex for $1\leq p \leq 2$. As a third contribution, we derive universal bounds on the (weak) logarithmic Sobolev constants for a QMS on a finite dimensional Hilbert space, using a similar method as Diaconis and Saloff-Coste in the case of classical primitive Markov chains, and Temme, Pastawski and Kastoryano in the case of primitive QMS. This leads to new bounds on the decoherence rates of decohering QMS. Additionally, we apply our results to the study of the tensorization of HC in non-commutative spaces in terms of the completely bounded norms (CB norms) recently introduced by Beigi and King for unital and trace preserving QMS. We generalize their results to the case of a general primitive QMS and provide estimates on the (weak) constants.

연구 동기 및 목표

• 비원시적 양자 마르코프 세미군(QMS)으로 일반화된 약한 초수축성과 약한 로그-소볼레프 부등식(LSI)을 제안하며, 여기서 동역학은 비자명한 디코herence-free 대수로 수렴한다.
• 비원시적 설정에서 그로스의 적분 보조정리의 버전을 수립하여, 약한 초수축성이 약한 LSI를 함의함을 보인다.
• 강한 LSI와 강한 초수축성이 비자명한 원시적 QMS에서는 성립하지 않음을 보이며, 이는 $1 \leq p \leq 2$에 대해 융합된 $\rL_p$ 노름이 비균일하게 볼록하지 않음을 의미한다.
• 디아코니스와 살로프-코스트, 테머 등이 제안한 방법을 영감으로 삼아 유한차원 QMS의 약한 로그-소볼레프 상수에 대한 일반적인 상계를 도출하고, 디코herence 속도에 대한 추정치를 얻는다.
• 일반적인 원시적 QMS로 완전히 유계(CB) 로그-소볼레프 부등식 이론을 확장하고, 약한 상수에 대한 추정치를 제공하며, 텐서화 성질을 포함한다.

제안 방법

• 세미군의 디코herence-free 대수 $\rN(\rP)$와 추적 정규화된 불변 상태 $\sigma_{\operatorname{Tr}}$에 의존하는 융합된 $\rL_p$ 노름에 기반한 새로운 초수축성 개념을 도입한다.
• 코사키의 비가환 가중 $\rL_p$ 공간 이론과 저운지 및 파르케의 최근 연산자 공간 기법을 적용하여 융합된 노름을 정의한다.
• 일반화된 그로스의 적분 보조정리 증명: 약한 초수축성이 약한 LSI를 함의하며, 상수는 디코herence-free 대수의 중심의 원소 수에 의존한다.
• 스펙트럼 간격과 역노름 $\|\sigma^{-1}\|_{\infty}$을 사용하여 약한 CB-로그-소볼레프 상수를 상계함으로써, 디코herence 속도에 대한 명시적 상계를 도출한다.
• 완전히 유계(CB) 노름의 곱성 성질을 활용하여 텐서화된 QMS에 이론을 적용하고, 약한 CB-LSI 상수가 텐서화에 대해 덧셈적임을 증명한다.
• 강한 LSI 및 강한 초수축성이 비원시적 QMS에서 실패하는 이유는 $1 \leq p \leq 2$에 대해 융합된 $\rL_p$ 노름이 비균일하게 볼록하기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 초수축성과 약한 로그-소볼레프 부등식은 비원시적 양자 마르코프 세미군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 약한 초수축성이 비원시적 경우에서 약한 LSI를 함의하는가? 그리고 디코herence-free 대수의 중심은 상수에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 강한 로그-소볼레프 부등식과 강한 초수축성은 비원시적 QMS에서 성립할 수 있는가? 그리고 융합된 $\rL_p$ 노름의 어떤 구조적 성질이 이를 방해하는가?
• RQ4 유한차원 QMS의 약한 로그-소볼레프 상수에 대해 유도할 수 있는 일반적인 상계는 무엇이며, 디코herence 속도와의 관계는 어떠한가?
• RQ5 완전히 유계(CB) 노름은 일반적인 원시적 QMS로 로그-소볼레프 부등식의 텐서화를 어떻게 확장하는가? 그리고 다중 입자계에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 약한 초수축성은 비원시적 QMS에서 약한 로그-소볼레프 부등식(LSI)을 함의하며, 상수는 디코herence-free 대수의 중심의 원소 수에 의해 상한이 둔다.
• 비자명한 원시적 QMS에서는 강한 LSI 및 강한 초수축성이 성립하지 않으며, 이는 $1 \leq p \leq 2$에 대해 융합된 $\rL_p$ 노름이 비균일하게 볼록하지 않음을 의미한다.
• 약한 CB-로그-소볼레프 상수에 대한 일반적인 상계를 도출: $ c \leq \frac{\ln\|\sigma^{-1}\|_{\infty} + 2}{2\lambda(\mathcal{L})} $, 여기서 $\lambda(\mathcal{L})$는 스펙트럼 간격이다.
• 약한 CB-로그-소볼레프 부등식은 덧셈 상수와 함께 텐서화된다: $n$개의 텐서화된 원시적 QMS에 대해 상수 $c$는 개별 $c_i$의 최대값이며, $d = \sum d_i$이다.
• 이 프레임워크는 일반적인 원시적 QMS로 CB-로그-소볼레프 부등식을 확장하며, 베이지와 킹의 결과를 일반화하고, 텐서화된 설정에서 약한 상수에 대한 추정치를 제공한다.
• 이 결과들은 비원시적 QMS의 디코herence 속도에 대해 새로운 명시적 상계를 이끌어내며, 특히 소산적 상태 준비 및 양자 메모리 안정성의 맥락에서 중요하다.