[논문 리뷰] Hypercontractivity of the Bohnenblust-Hille inequality for polynomials and multidimensional Bohr radii

Andreas Defant, Leonhard Frerick|ArXiv.org|2009. 03. 19.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 동차 다항식에 대한 Bohnenblust-Hille 부등식의 초수축성(supercontractivity)을 확립하며, 최적 상수가 차수에 대해 지수적으로 증가함을 증명한다. 이는 다차원 Bohr 반경에 대한 날카운 점근 하한을 이끌어내며, $\ell_n^p$에서 단위구의 Bohr 반경 $K_n^p$가 점점 $n \to \infty$가 될 때 $(\log n/n)^{1-1/\min(p,2)}$ 이상으로 점점 증가함을 보여주며, 기존 알려진 상한과 일치하고 Boas와 Khavinson의 관점에서 최적성을 해결한다.

ABSTRACT

In 1931 Bohnenblust and Hille proved that for each m-homogeneous polynomial $\sum_{|α| = m} a_αz^α$ on $\C^n$ the $\ell^{\frac{2m}{m+1}}$-norm of its coefficients is bounded from above by a constant $C_m$ (depending only on the degree $m$) times the sup norm of the polynomial on the polydisc $\mathbb{D}^n$. We prove that this inequality is hypercontractive in the sense that the optimal constant $C_m$ is $\leq C^m$ where $C \geq 1$ is an absolute constant. From this we derive that the Bohr radius $K_n$ of the $n$-dimensional polydisc in $\mathbb{C}^n$ is up to an absolute constant $\geq \sqrt{\log n/n}$; this result was independently and with a differnt proof discovered by Ortega-Cerd{à}, Ounaïes and Seip. An alternative approach even allows to prove that the Bohr radius $K_n^p$, $1 \leq p \leq \infty $ of the unit ball of $\ell_n^p ,$ is asymptotically $ \geq (\log n/n) ^{1-1/ \min (p,2)}$. This shows that the upper bounds for $K_n^p$ given by Boas and Khavinson are optimal.

연구 동기 및 목표

• 복소수 $\mathbb{C}^n$에서 $m$-동차 다항식에 대한 Bohnenblust-Hille 부등식의 초수축성을 확립하는 것.
• $\ell_n^p$에서 단위구의 다차원 Bohr 반경 $K_n^p$에 대한 날카운 점근 하한을 도출하는 것.
• Boas와 Khavinson가 제시한 $K_n^p$에 대한 상한이 점점 $n \to \infty$가 될 때 최적임을 보이는 것.

제안 방법

• m-동차 다항식에 대한 Bohnenblust-Hille 부등식의 최적 상수 $D_m$가 절대 상수 $C \geq 1$에 대해 $D_m \leq C^m$를 만족함을 증명하여 초수축성을 확립하는 것.
• 초수축성 추정을 이용해 $m$-동차 다항식 공간 $\mathcal{P}(^m \ell_n^p)$에서 단항식들의 무조건적 기저 상수 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$를 유계화하는 것.
• Hahn-Banach 확장과 코시-슈바르츠 부등식을 통해 $\mathcal{P}(^m \ell_n^p)$의 사영 상수에 대한 추정을 적용하는 것.
• 관계식 $K_n^p \geq \frac{1}{3 \sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}}$을 이용해 Bohr 반경에 대한 하한을 도출하는 것.
• $m(n/m)^{1/m}$의 점근 최소화를 적용하여 $K_n^p$에 대한 유계를 최적화하는 것.
• 표준적인 $\ell_\infty^n$의 편균 상수 추정과 Khinchine 유형 부등식을 이용해 상수를 보다 정밀하게 조정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m-동차 다항식에 대한 Bohnenblust-Hille 부등식은 초수축적인가? 즉, 그 최적 상수가 차수 $m$에 대해 지수적으로 증가하는가?
• RQ2 n \to \infty일 때 $\ell_n^p$의 단위구에 대한 Bohr 반경 $K_n^p$의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 Boas와 Khavinson가 제시한 $K_n^p$에 대한 상한은 최적인가, 아니면 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 무조건적 기저 상수 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$는 $n$과 $m$에 대해 점점 $n \to \infty$가 될 때 어떻게 행동하는가?
• RQ5 n \to \infty일 때 $\sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}$의 정확한 점근적 성장률은 무엇인가?

주요 결과

• m-동차 다항식에 대한 Bohnenblust-Hille 부등식은 초수축적이다: 최적 상수 $D_m$는 절대 상수 $C \geq 1$에 대해 $D_m \leq C^m$를 만족하며, 이는 이전의 추정보다 향상된 결과이다.
• 무조건적 기저 상수 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$는 어떤 절대 상수 $C \geq 1$에 대해 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p)) \leq C^m (1 + n/m)^{(m-1)(1 - 1/\min(p,2))}$를 만족하며, $C$는 각 단계에서 다를 수 있다.
• 단위구의 다차원 Bohr 반경 $K_n^p$는 $n \to \infty$일 때 $K_n^p \gtrsim (\log n / n)^{1 - 1/\min(p,2)}$를 만족하며, Boas와 Khavinson의 상한과 일치한다.
• 점근적 하한은 최적이며, 기존 알려진 상한과 일치함으로써 Boas와 Khavinson의 추정이 날카로움을 확인한다.
• $\sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}$는 어떤 절대 상수 $C$에 대해 점점 $n \to \infty$가 될 때 $C (n / \log n)^{1/\max(p,2)}$의 비율로 점근적으로 증가하며, 대칭적이고 전체적인 임베딩 노름 사이의 격차를 정량화한다.