[논문 리뷰] Hypercyclic subspaces and weighted shifts

Quentin Menet|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 24.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 연속 노름을 가진 프리셰트 공간 위의 연산자 수열로 초주기 부분공간 기준을 일반화하고, 가중 이동에서 초주기 부분공간이 존재하지 않는 경우를 위한 단순 기준을 수립한다. $ℓ^p$, $c_0$, 정수함수 공간 및 특정 코테 시퀀스 공간에서의 가중 이동이 초주기 부분공간을 갖는 것을 특성화하며, 정수함수 공간에서 미분 연산자의 비상수 다항식이 모두 초주기 부분공간을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We first generalize the results of León and Müller [Studia Math. 175(1) 2006] on hypercyclic subspaces to sequences of operators on Fréchet spaces with a continuous norm. Then we study the particular case of iterates of an operator T and show a simple criterion for having no hypercyclic subspace. Finally we deduce from this criterion a characterization of weighted shifts with hypercyclic subspaces on the spaces lp or c0, on the space of entire functions and on certain Köthe sequence spaces. We also prove that if P is a non-constant polynomial and D is the differentiation operator on the space of entire functions then P(D) possesses a hypercyclic subspace.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서의 초주기 부분공간 이론을 연속 노름을 가진 프리셰트 공간으로 확장하기 위해.
• 바나흐 또는 프리셰트 공간에서 연산자가 초주기 부분공간을 갖지 않는 경우를 판단하기 위한 단순 기준을 개발하기 위해.
• $\ell^p$, $c_0$, 정수함수 공간 및 특정 코테 시퀀스 공간에서의 가중 이동이 초주기 부분공간을 갖는 것을 특성화하기 위해.
• 정수함수 공간에서 미분 연산자의 비상수 다항식이 모두 초주기 부분공간을 갖는다는 것을 증명하기 위해.

제안 방법

• 레온과 مول러의 기준(정리 0.3 및 0.4)을 연속 노름을 가진 프리셰트 공간으로 일반화하기 위해.
• 유한codimension 부분공간에서 연산자 노름의 균일한 하한을 기반으로 한 새로운 기준을 도입하여 초주기 부분공간의 부재를 탐지하기 위해.
• 가중치의 성장 조건과 관련된 시퀀스 공간 노름을 분석함으로써 이 기준을 가중 이동에 적용하기 위해.
• 행렬 표현 및 가중치 시퀀스의 渐近 비교를 사용하여 코테 시퀀스 공간에서 초주기성 기준을 검증하기 위해.
• 스펙트럼 및 함수해석학적 도구, 특히 초주기성 기준과 $H(\mathbb{C})$에서의 미분 연산자 성질을 활용하기 위해.
• 초주기 부분공간의 존재를 보장하기 위한 가중치 및 시퀀스 공간 계수의 limsup 및 liminf 비교를 포함하는 충분조건을 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 노름을 가진 프리셰트 공간 위의 연산자 수열이 언제 초주기 부분공간을 갖는가?
• RQ2 바나흐 또는 프리셰트 공간에서 연산자가 언제 초주기 부분공간을 갖지 않는가?
• RQ3 $\ell^p$, $c_0$, 또는 정수함수 공간에서의 어떤 가중 이동이 초주기 부분공간을 갖는가?
• RQ4 정수함수 공간에서 미분 연산자의 비상수 다항식이 모두 초주기 부분공간을 갖는가?
• RQ5 코테 시퀀스 공간에서의 가중 이동이 초주기 부분공간을 갖기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 0.5의 기준은 유한codimension 부분공간에서 $\|T^n x\|$의 균일한 하한을 통해 초주기 부분공간 부재의 필요충분조건을 제공한다.
• $\ell^p$ 또는 $c_0$에서의 가중 이동에 대해, 모든 $n \geq 1$에 대해 $\inf_k \prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| = 0$ 이면 $I + B_w$는 초주기 부분공간을 갖는다.
• 정수함수 공간에서, 미분 연산자 $D$의 비상수 다항식 $P(D)$는 모두 초주기 부분공간을 갖는다.
• 코테 시퀀스 공간 $\lambda^p(A)$ 또는 $c_0(A)$에서, 가중 이동 $B_w$는 가중치 및 시퀀스 계수에 대한 특정 limsup 및 liminf 조건을 만족하면 초주기 부분공간을 갖는다.
• 만약 $\lim_k \frac{a_{j,k} a_{m,n+k}}{a_{J,k} a_{m_j,n+k}} = 0$ 이며, 균일하게 $\inf_k \frac{\prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| a_{J,k}}{a_{m,n+k}} = 0$ 이면, $P(B_w)$가 초주기성 기준을 만족하면 $P(B_w)$는 초주기 부분공간을 갖는다.
• 정수함수 공간과 빠르게 감소하는 시퀀스의 공간은 가중 이동에서 초주기 부분공간의 존재를 보장하기 위한 필요한 성장 조건을 만족한다.