[논문 리뷰] Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects

Reynald Lercier, Christophe Ritzenthaler|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 46인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 고전적 불변량 이론과 코바리언트를 사용하여 종수 3의 초타원곡선을 그들의 불변량으로부터 재구성하는 명시적 알고리즘을 제시한다. 기하학적, 산술적, 알고리즘적 측면에 중점을 두며, 자명하지 않은 자기동형군을 가진 경우를 포함하여 모듈리 체 위에서 초타원곡선 모델을 복원하는 실용적인 방법을 제공한다. 또한 $\bar{\bbF}_p$-동형류 전부를 $p = 11$에서 $47$까지 계산하여 이론적 예측인 $p^5$ 개의 곡선과 일치시킨다.

ABSTRACT

We apply classical invariant theory of binary forms to explicitly characterize isomorphism classes of hyperelliptic curves of small genus and, conversely, propose algorithms for reconstructing hyperelliptic models from given invariants. We focus on genus 3 hyperelliptic curves. Both geometric and arithmetic aspects are considered.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 자기동형군이 존재하는 경우에도 불변량으로부터 초타원곡선을 재구성할 수 있는 구축 가능한 방법을 제공하기 위해.
• 산술기하학의 내림 문제를 다루며, 모듈리 체 위에서 초타원곡선 모델을 재구성하기 위한 알고리즘을 개발하기 위해.
• 메스트의 방법을 초과하는 자기동형군이 있는 경우로 확장하여, 명시적 불변량과 코바리언트를 통해 종수 3 초타원곡선의 동형류를 특성화하기 위해.
• 유한체 위에서 모든 $\bar{\bbF}_p$-동형류에 대해 명시적인 모델을 계산하고 이론적 수를 검증하기 위해.

제안 방법

• 이차 삼항형의 기본 불변량과 코바리언트를 계산하기 위해 고르다의 방법과 전위량을 사용한다. 이는 종수 3 초타원곡선과 관련된 이항 팔차형에 해당한다.
• 클렙슈의 항등식을 적용하여 이항형이 그와 관련된 이차 코바리언트와 연결되도록 하여, 불변량으로부터 평면의 이차곡선 $\mc{Q}$와 차수 4 곡선 $\mc{H}$를 구성할 수 있도록 한다.
• 계수의 형식적 표현을 직접 기호 계산을 피하기 위해 평가-보간 전략을 사용하여 $\mc{Q}$와 $\mc{H}$의 계수를 불변량에 대해 유도한다.
• 초과 자기동형군이 존재하는 곡선의 경우, 비특이적인 $\mc{Q}$를 확보하기 위해 코바리언트의 선택을 수정하여, 8개의 점에서 분지하는 차수 2의 쌍대 덮개를 구성할 수 있도록 한다.
• 유한체 위에서 갈루아 작용을 계산하고 노름 방정식을 풀어 내림 기법을 적용함으로써, 모듈리 체 위로 모델을 내림시키는 데 사용한다.
• 자기동형군이 비자명할 경우, Magma의 `IsGL2Equivalent` 함수와 $\textrm{PGL}_2$ 내의 정규화자 계산을 사용하여 유리 동형을 찾는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기동형군이 비자명할 경우, 특히 메스트의 이차곡선이 특이해지는 경우에도 불변량으로부터 초타원곡선을 알고리즘적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 초과 자기동형군이 존재하는 종수 3 초타원곡선의 모듈리 체의 구조는 어떻게 되며, 언제 이것이 정의 체이기도 한가?
• RQ3 $\bbF_p$ 위에서 $\bar{\bbF}_p$-동형류의 수는 몇 개인가? 그리고 이들은 명시적으로 매개변수화될 수 있는가?
• RQ4 가중 투영공간의 불변량을 사용하여, 종수 3을 초월해 고차수 초타원곡선으로 이 재구성 방법을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 $p = 11$에서 $47$까지의 $\bbF_p$ 위에서 모든 $\bar{\bbF}_p$-동형류에 대해 모듈리 체 위에서 초타원곡선을 성공적으로 재구성하였다.
• 차원 0의 스트라툼에 대해 한 모델을 확보하고, 차원 1에선 $p-3$개의 모델, 차원 2에선 $p^2 - 2p + 2$개의 모델, $\mc{D}_4$ 스트라툼에선 $p^3 - 2p^2 + 3$개의 모델, $\mc{C}_2$ 스트라툼에선 $p^5 - p^3 + p - 2$개의 모델을 확보하였다.
• 총 $\bar{\bbF}_p$-비동형 종수 3 초타원곡선의 수는 $p^5$이며, 이는 [BG01]에서의 예측을 확인한다.
• 비자명한 자기동형군이 존재하는 곡선의 경우, 특이하지 않은 이차곡선 $\mc{Q}$를 확보하기 위해 메스트의 원래 접근법이 실패하는 문제를 해결하기 위해 대체 코바리언트를 사용함으로써, 이 방법은 성공적으로 처리하였다.
• 유한체 위에서의 내림 알고리즘이 효과적이다: 노름 방정식을 풀고 갈루아 내림을 검증함으로써, 유한한 동형류 검색을 통해 모듈리 체 위로 모델을 구성하였다.
• 구현 결과, 초과 자기동형군이 존재하는 경우에도 모든 종수 3 초타원곡선에 대해 모듈리 체가 정의 체임을 확인하였다.