[논문 리뷰] Hyperelliptic Curves with Many Automorphisms

N Müller, Richard Pink|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 많은 자동형사를 가진 모든 복소 hyperelliptic 곡선을 분류하여 세 개의 무한한 가닥과 15개의 예외적 케이스를 밝혀내고, 그들의 Jacobian이 복소 곱승을 갖는지 정확히 규명한다. 표현 이론적 기준과 유한체 위에서의 새로운 프로베누스 특성다항식 기준을 사용하여, 15개의 예외적 곡선 중 10개는 Jacobian이 복소 곱승을 가지지 않음을 증명하고, 나머지 5개와 모든 무한 가닥은 복소 곱승을 가짐을 보여, 모듈리 공간의 특수점에 관해 프랑스 오르트가 제기한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We determine all complex hyperelliptic curves with many automorphisms and decide which of their jacobians have complex multiplication.

연구 동기 및 목표

• 모든 복소 hyperelliptic 곡선을 분류하여, 자동형사군이 비자명한 변형을 견디지 못하는 곡선들, 즉 자동형사군을 비자명하게 변형할 수 없는 곡선들을 다룬다.
• 이 곡선들 중 Jacobian이 복소 곱승을 갖는 경우를 규명하여, 모듈리 공간에서의 특수점에 관해 프랑스 오르트가 제기한 질문을 해결한다.
• 많은 자동형사를 가진 hyperelliptic 곡선의 동형류를 완전하고 간결하게 분류하여, 무한 가닥과 예외적 케이스를 구분한다.
• 표현 이론적 방법이 실패할 경우, 유한체 위에서의 프로베누스 특성다항식 기반의 계산 기준을 개발하고 적용하여 Jacobian이 복소 곱승을 갖지 않음을 증명한다.

제안 방법

• 분석을 통해 축소된 자동형사군 G̅ < PGL₂(ℂ)를 사용하여 분류를 진행하고, Wolfart의 기준을 이용하여 발생할 수 있는 유한군 G̅의 모든 가능성을 식별한다.
• 각 가능한 G̅에 대해 Shaska [19]의 알려진 결과와 다항식을 활용하여 명시적인 방정식을 유도하고, 표 1에 있는 동형류의 완전한 목록을 도출한다.
• 세 무한 가닥에 속한 곡선들에 대해서는, Fermat 곡선의 몫으로서의 표현을 통해 Jacobian의 복소 곱승을 확립한다.
• 5개의 예외적 곡선에 대해서는, Streit의 표현 이론적 기준을 사용하여 복소 곱승을 확인한다. 이 기준은 군 작용을 가진 극화된 아벨 다양체의 비자명한 변형이 존재하지 않음을 보장한다.
• 남은 10개의 곡선에 대해서는, 소수의 양의 계수를 가진 몫 곡선을 구성하고, 유한체 위에서의 새로운 프로베누스 특성다항식 기반 기준을 사용하여 복소 곱승이 존재하지 않음을 증명한다.
• 프로베누스 기준은 타이트 추측과 함께 사용되며, 비-CM 아벨 다양체는 유리수 위에서 점점 증가하는 차수의 분해체를 가져야 한다는 사실에 기반한다. 이는 Sage와 GAP를 사용하여 계산적으로 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 위에서 많은 자동형사를 가지는 hyperelliptic 곡선은 무엇이며, 즉 자동형사군을 유지하면서 비자명한 변형을 견디지 못하는 곡선은 무엇인가?
• RQ2 이 곡선들 중 Jacobian이 복소 곱승을 갖는 경우는 언제이며, 이는 모듈리 공간에서의 특수점에 관해 오르트가 추측한 바와 일치하는가?
• RQ3 표현 이론적 방법이 실패할 경우, 유한체 위에서의 프로베누스 특성다항식 기반의 계산 기준을 사용하여 Jacobian이 복소 곱승을 갖지 않음을 확실히 배제할 수 있는가?
• RQ4 많은 자동형사를 가진 hyperelliptic 곡선의 동형류의 완전한 목록은 무엇이며, 그 자동형사군과 Jacobian은 복소 곱승과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 많은 자동형사를 가진 모든 hyperelliptic 곡선은 세 개의 무한 가닥(순환군 또는 이면군을 갖는 축소된 자동형사군)과 15개의 예외적 케이스(A₄, S₄, 또는 A₅를 축소된 군으로 가짐)로 분류된다.
• 세 무한 가닥에 속한 모든 곡선의 Jacobian은 복소 곱승을 갖는다. 이는 Fermat 곡선의 몫으로서 표현되기 때문이다.
• 15개의 예외적 곡선 중 5개(X₄, X₅, X₇, X₉, X₁₄)의 Jacobian은 복소 곱승을 갖는다. 이는 Streit의 표현 이론적 기준을 통해 확인된다.
• 남은 10개의 예외적 곡선(X₆, X₈, X₁₀, X₁₁, X₁₂, X₁₃, X₁₅, X₁₆, X₁₇, X₁₈)의 Jacobian은 복소 곱승을 갖지 않으며, 새로운 프로베누스 기반 기준을 사용하여 증명된다.
• 프로베누스 기준은 충분히 많은 매우 양호한 소수에 대해, 프로베누스의 특성다항식의 분해체 차수의 곱이 g̅를 초과함을 확인함으로써 성공적으로 적용되었다. 여기서 g̅는 몫 곡선의 종수이다.
• Sage와 GAP를 사용한 계산적 확인을 통해 모든 결과가 검증되었으며, 예를 들어 X₁₀의 경우 37, 61, 157 등의 명시적 소수를 사용하여 복소 곱승의 실패를 보여주었다.