[논문 리뷰] Hyperelliptic Curves with Maximal Galois Action on the Torsion Points of their Jacobians

Aaron Landesman, Ashvin Swaminathan외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 네 가지 표준적인 히페르에르미티안 곡선 가닥에서, 밀도-1 부분집합의 곡선들이 애드elic 갈루아 이미지가 최대인 양각을 가진 양각을 가진다는 것을 증명한다. 즉, 토션 점 위의 갈루아 표현이 심플렉틱 군 내에서 가능한 한 크게 나타난다. 논문은 ℚ 위에서 양각이 최대인 명시적인 종수 2 및 종수 3 히페르에르미티안 곡선을 제공하며, 이러한 종수에 대해 이전에 알려지지 않았던 문헌의 빈도를 메꾸고, 모듈로-ℓ 단순군에 대한 결과를 전체 애드elic 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we show that in each of four standard families of hyperelliptic curves, there is a density-$1$ subset of members with the property that their Jacobians have adelic Galois representation with image as large as possible. This result constitutes an explicit application of a general theorem on arbitrary rational families of abelian varieties to the case of families of Jacobians of hyperelliptic curves. Furthermore, we provide explicit examples of hyperelliptic curves of genus $2$ and $3$ over $\mathbb Q$ whose Jacobians have such maximal adelic Galois representations.

연구 동기 및 목표

• 네 가지 표준적인 히페르에르미티안 곡선 가닥에서, 밀도-1 부분집합의 곡선들이 애드elic 갈루아 이미지가 최대인 양각을 가진다는 것을 증명하는 것.
• ℚ 위에서 종수 2 및 종수 3의 히페르에르미티안 곡선의 명시적 예를 제시하여, 그 양각이 애드elic 갈루아 이미지로 최대가 되도록 하는 것.
• 모듈로-ℓ 갈루아 단순군에 대한 결과를 전체 애드elic 설정으로 확장하는 것. 특히, 이전에 알려지지 않았던 히페르에르미티안 곡선에 대해 이러한 결과를 확장하는 것.
• 종수 2 및 종수 3에서의 문헌적 빈도를 메꾸기 위해 명시적 예를 구성하는 것. 이는 이전에 최대 애드elic 이미지가 알려지지 않았기 때문이다.
• 히페르에르미티안 곡선 단순군에 대해, 모듈로-2 전사성은 2-adic 전사성을 이끌어내야 한다는 추측을 내세우며, 이는 애드elic 최대성의 조건을 단순화할 수 있다.

제안 방법

• 저자들은 [LSTX19]에서 제시한 일반적인 아벨 다양체의 유리 함수 가닥에 관한 정리(정리)를 히페르에르미티안 곡선 양각에 적용하여, 곡선의 밀도-1 부분집합에서 애드elic 갈루아 이미지가 가능한 한 크게 된다는 것을 증명한다.
• 모듈로-ℓ 갈루아 이미지가 모든 소수 ℓ에 대해 전체 심플렉틱 군 Sp_{2g}(Z/ℓZ)임을 확인함으로써 애드elic 최대성 조건을 검증한다. 이는 [AD17] 및 [Zyw10b]의 기준에 기반한다.
• 각 소수 ℓ에 대해, [AD17]의 기준을 사용하여 모듈로-ℓ 갈루아 이미지에 전위(트랜스베이션)가 존재함을 확인함으로써, 이미지가 파라보릭 부분군에 포함되지 않음을 보장한다.
• Magma와 Mathematica를 사용하여 다양한 소수 모듈로에서 폴리노미얼의 프로베니우스 원소의 특성 다항식을 계산하여, 정리 4.4의 조건 (B) 및 (C)를 확인함으로써 전체 심플렉틱 이미지를 보장한다.
• 정의 다항식 f(x)의 판별식을 명시적으로 계산하고, 이가 유한한 소수 인수만을 가짐을 확인함으로써, 체보타레프 유형의 추론을 통해 밀도-1 주장에 기여한다.
• 모듈로-2 전사성이 S_{2g+2}로 이어지면, 추측에 따라 2-adic 전사성이 이끌어진다는 것을 증명한다. 이는 애드elic 최대성의 검증을 ℓ ≥ 3인 경우의 모듈로-ℓ 전사성 검증으로 단순화할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℚ 위에서 종수 2 및 종수 3의 히페르에르미티안 곡선 중, 애드elic 갈루아 이미지가 최대인 양각을 가진 곡선이 존재하는가?
• RQ2 유리 함수 가닥에 관한 일반 정리가, 표준적인 가닥에서 히페르에르미티안 곡선의 밀도-1 부분집합이 최대 애드elic 갈루아 이미지를 가진다는 것을 증명하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ3 모듈로-2 갈루아 단순군이 S_{2g+2}로 전사적일 경우, 이는 히페르에르미티안 곡선 양각의 2-adic 전사성으로 이어지는가?
• RQ4 이러한 곡선의 명시적 예를 구성하고 컴퓨터 계산을 통해 검증할 수 있는가?
• RQ5 이전의 예들(예: [Die02], [ALS16])에서 모듈로-2 이미지가 최대가 아니었기 때문에 전체 애드elic 최대성은 달성되지 않았는가? 이 문제를 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 ℚ 위에서 종수 2 및 종수 3의 히페르에르미티안 곡선을 명시적으로 구성하여, 그 양각이 GSp_{2g}(Ẑ)와 정확히 일치하는 애드elic 갈루아 이미지를 가짐을 보여주며, 가능한 한 최대의 이미지를 달성한다.
• 네 가지 표준적인 히페르에르미티안 곡선 가닥 각각에 대해, 밀도-1 부분집합의 곡선들이 최대 애드elic 갈루아 이미지를 가진다. 이는 타원 곡선의 결과를 고차원 종수로 일반화한 것이다.
• 종수 3 예제의 정의 다항식 f(x)의 판별식은 작은 소수의 고차항과 몇몇 큰 소수들의 곱으로 표현되며, 이는 유한한 수의 악성 소수를 가짐을 확인한다.
• 종수 3 예제의 모듈로-2 갈루아 이미지는 S_8임을 보였고, 추측 5.1에 따르면 이는 2-adic 전사성을 이끌어낸다.
• 모든 소수 ℓ ≠ 3,5,7,13,17,19에 대해, 모듈로-ℓ 갈루아 이미지는 전체 Sp_6(Z/ℓZ)이며, 나머지 소수들에 대해서는 특성 다항식을 통한 명시적 검증을 통해 전체 이미지임을 확인한다.
• 논문은 만약 모듈로-2 단순군이 S_{2g+2}이고, 모든 ℓ ≥ 3에 대해 모듈로-ℓ 단순군이 전체 Sp_{2g}(Z/ℓZ)이면, 애드elic 이미지가 최대가 되며, 이는 추측 5.1을 가정할 때 성립함을 증명한다.