[논문 리뷰] Hypergeometric functions, their epsilon expansions and Feynman diagrams

M.Yu. Kalmykov, Bernd A. Kniehl외 2명|ArXiv.org|2008. 10. 20.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일차원 피아노 다이어그램의 $\varepsilon$ 전개를 일반화된 초함수를 통해 분석적으로 계산할 수 있도록 하는 초함수 접근법을 제시한다. 주어진 다이어그램의 마스터 인tegr럴은 ${}_2F_1$, ${}_3F_2$, ${}_4F_3$ 함수를 이용해 정확하게 표현되며, 이들의 인자들은 그램 및 카이리 행렬식과 관련되어 있다. 또한 주요 다이어그램에 대해 다중 로그로그 함수를 이용한 전항 $\varepsilon$ 전개를 제공한다.

ABSTRACT

We review the hypergeometric function approach to Feynman diagrams. Special consideration is given to the construction of the Laurent expansion. As an illustration, we describe a collection of physically important one-loop vertex diagrams for which this approach is useful.

연구 동기 및 목표

• 일차원 피아노 다이어그램의 라우렌트 급수 전개(\varepsilon에 대한)를 초함수를 이용해 체계적으로 계산하는 방법을 개발하기 위해.
• 그램 및 카이리 행렬식을 통한 운동학적 불변량과 초함수 매개변수 사이의 직접적 대응관계를 수립하기 위해.
• 정점형 다이어그램의 마스터 인테그랄에 대해 일반화된 초함수를 이용한 정확한 해석적 표현을 제공하기 위해.
• 다중 질량 척도와 영이 아닌 카이리 행렬식을 가진 다이어그램에 대해 초함수 기법의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 일부 다이어그램의 전항 $\varepsilon$ 전개가 단위의 제곱근에 대한 다중 로그로그 함수로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 공간-시간 차원에서의 차분 방정식과 멜린-바른스 기법을 통해 유도된 일차원 $N$-점 다이어그램의 초함수 표현을 활용한다.
• 마스터 인테그랄을 운동학적 불변량 $Q^2/m^2$ 또는 $Q_i^2/m^2$에 비례하는 인자를 가진 일반화된 초함수 ${}_pF_q$로 표현한다.
• 다이어그램을 특징짓는 기하학적 불변량인 그램 및 카이리 행렬식과 초함수 인자 사이의 일대일 대응에 의존한다.
• 다비디체프-타라소프 알고리즘을 적용하여 임의의 일차원 다이어그램을 이동된 보조선형 수를 가진 마스터 인테그랄 집합으로 축소한다.
• Laurent 급수 계수를 $d = 4 - 2\varepsilon$ 근처에서 계산하기 위해 $\varepsilon$-전개 기법을 사용하여, UV 및 IR 발산 다이어그램의 수치적 평가를 가능하게 한다.
• 연속 관계와 미분 축소 기법을 활용하여 다이어그램에 나타나는 초함수의 $\varepsilon$-전개를 체계적으로 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 피아노 다이어그램은 어떻게 일반화된 초함수를 통해 체계적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 다이어그램의 운동학적 불변량과 그 표현에서의 초함수 매개변수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 초함수 항등식을 이용해 마스터 인테그랄의 $\varepsilon$-전개를 해석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 그램 및 카이리 행렬식의 영 또는 비영 값은 초함수 표현의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 마스터 인테그랄의 전항 $\varepsilon$ 전개는 어느 정도까지 다중 로그로그 함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 보조선형 수를 가진 일차원 정점 다이어그램 $C_7$는 $Q^2/m^2$에 비례하는 인자를 가진 ${}_3F_2$ 함수로 표현되며, 계수는 감마 함수를 포함한다.
• 다이어그램 $C_8$는 $n/2 - 1$, $3 - n/2$, $n/2$에 의존하는 매개변수를 가진 ${}_3F_2$ 초함수로 표현되며, 그 인자는 $Q^2/(4m^2)$이다.
• $C_9$의 경우, 마스터 인테그랄은 각각 $Q_1^2/m^2$ 및 $Q_2^2/m^2$를 인자로 가진 두 개의 ${}_3F_2$ 함수의 차로 주어지며, $Q_1^2 = Q_2^2$일 때는 0이 된다.
• 카이리 행렬식이 0이 되는 다이어그램 $C_{10}$은 보조선형 수를 가진 다이어그램의 선형 조합으로 축소되며, 제곱 운동량 불변량을 포함하는 두 개의 ${}_2F_1$ 함수로 표현된다.
• 마스터 인테그랄 $C_{11}$은 단위의 제곱근에 대한 다중 로그로그 함수로 표현되는 전항 $\varepsilon$-전개를 가진다.
• 다이어그램 $C_{12}$는 두 개의 ${}_3F_2$ 함수의 선형 조합으로 표현되며, $C_8$와 유사한 구조를 가지며, $Q_i^2$에 가중치가 붙은 항의 차와 분모 $Q_1^2 - Q_2^2$를 포함한다.