[논문 리뷰] Hyperholomorphic sheaves and new examples of hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|1997. 12. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 하이퍼카일러 다양체 위의 하이퍼홀로모르픽 층—하이퍼카일러 구조와 호환되는 코herent 층—을 도입하여, 특정 조건 하에서 그 모듈리 공간이 컴팩트하다는 것을 증명한다. 또한 안정적인 하이퍼홀로모르픽 복합체가 표준적인 특이점 제거를 통해 새로운 하이퍼카일러 다양체의 예를 제공함으로써, 기존의 경우를 초월해 컴팩트한 하이퍼카일러 다양체의 구축을 발전시킨다.

ABSTRACT

Given a compact hyperkaehler manifold $M$ and a holomorphic bundle B over $M$, we consider a Hermitian connection $ abla$ on B which is compatible with all complex structures on $M$ induced by the hyperkaehler structure. Such a connection is unique, because it is Yang-Mills. We call the bundles admitting such connections hyperholomorphic bundles. A stable bundle is hyperholomorphic if and only if its Chern classes $c_1$, $c_2$ are SU(2)-invariant, with respect to the natural SU(2)-action on the cohomology. For several years, it was known that the moduli space of stable hyperholomorphic bundles is singular hyperkaehler. More recently, it was proven that singular hyperkaehler varieties admit a canonical hyperkaehler desingularization. In the present paper, we show that a moduli space of stable hyperholomorphic bundles is compact, given some assumptions on Chern classes of B and hyperkaehler geometry of $M$ (we also require $dim_C M>2$). Conjecturally, this leads to new examples of hyperkaehler manifolds. We develop the theory of hyperholomorphic sheaves, which are (intuitively speaking) coherent sheaves compatible with hyperkaehler structure. We show that hyperholomorphic sheaves with isolated singularities can be canonically desingularized by a blow-up. This theory is used to study degenerations of hyperholomorphic bundles.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼카일러 구조와 호환되는 코herent 층으로서 하이퍼홀로모르픽 층의 정의와 이론적 발전을 목적으로 한다.
• 그들의 체른 클래스의 SU(2)-불변성에 의해 안정적인 하이퍼홀로모르픽 복합체를 특성화한다.
• 특정 기하학적 및 위상수학적 조건 하에서 안정적인 하이퍼홀로모르픽 복합체의 모듈리 공간이 컴팩트하다는 것을 증명한다.
• 특이점이 있는 하이퍼홀로모르픽 모듈리 공간이 표준적인 하이퍼카일러 특이점 제거를 갖는다는 것을 확립한다.
• 이러한 모듈리 공간으로부터 기존에 알려지지 않은 하이퍼카일러 다양체를 포함한 새로운 컴팩트 하이퍼카일러 다양체의 예를 구성한다.

제안 방법

• 하이퍼카일러 다양체 위의 헬름하르트 연결이 모든 복소 구조와 호환되는 유일한 헬름하르트 연결을 갖는 헬름하르트 복합체로 하이퍼홀로모르픽 복합체를 정의한다.
• 양-밀스 성질을 이용해 하이퍼홀로모르픽 연결의 유일성을 증명한다.
• 체른 클래스 $c_1$ 및 $c_2$의 SU(2)-불변성을 이용해 하이퍼홀로모르픽 복합체를 특성화한다. 이는 코homology에서의 성질이다.
• 특이점이 있는 하이퍼카일러 다양체 이론과 그 표준적 특이점 제거 기법을 적용하여 모듈리 공간의 특이점을 해결한다.
• 고립된 특이점을 갖는 하이퍼홀로모르픽 층을 블로우업 작용을 통해 표준적으로 특이점 제거한다.
• 체른 클래스에 대한 가정과 $\dim_{\mathbb{C}} M > 2$ 조건 하에서 모듈리 공간의 컴팩트성을 활용해 새로운 하이퍼카일러 다양체를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼카일러 다양체 위의 어떤 헬름하르트 복합체가 모든 복소 구조와 호환되는 헬름하르트 연결을 갖는가?
• RQ2 안정적인 복합체가 하이퍼홀로모르픽이 되기 위한 코homological 조건은 무엇인가?
• RQ3 자연스러운 기하학적 제약 조건 하에서 안정적인 하이퍼홀로모르픽 복합체의 모듈리 공간이 컴팩트해지는가?
• RQ4 특이점이 있는 하이퍼홀로모르픽 모듈리 공간은 하이퍼카일러 구조를 유지하면서 어떻게 특이점 제거가 가능한가?
• RQ5 하이퍼홀로모르픽 복합체의 컴팩트한 모듈리 공간은 새로운 하이퍼카일러 다양체의 예를 제공하는가?

주요 결과

• 콤팩트한 하이퍼카일러 다양체 위의 헬름하르트 복합체는 그 첫 번째 및 두 번째 체른 클래스가 코homology에서 자연스러운 작용 하에 SU(2)-불변일 때이고, 그때에만 하이퍼홀로모르픽이다.
• 다양체의 차원이 2보다 크고 체른 클래스가 특정 기하학적 제약 조건을 만족할 경우, 안정적인 하이퍼홀로모르픽 복합체의 모듈리 공간은 컴팩트하다.
• 특이점이 있는 하이퍼홀로모르픽 모듈리 공간은 표준적인 하이퍼카일러 특이점 제거를 갖는다. 이는 하이퍼카일러 구조를 유지한다.
• 고립된 특이점을 갖는 하이퍼홀로모르픽 층은 블로우업 작용을 통해 표준적으로 특이점 제거가 가능하다.
• 하이퍼홀로모르픽 복합체의 컴팩트한 모듈리 공간의 구성은 하이퍼카일러 다양체를 생성하는 새로운 방법을 제공하며, 이는 기존에 알려지지 않은 예를 유도할 것으로 추측된다.
• 하이퍼홀로모르픽 층 이론은 통제된 특이점 제거 기법을 통해 하이퍼홀로모르픽 복합체의 분열을 연구하는 데 기여한다.