[논문 리뷰] Hyperkaehler structures on total spaces of holomorphic cotangent bundles

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|1997. 10. 23.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 7인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 Kähler 다양체 $M$ 위의 복소 코탄젠트 번들의 총공간 $T^*M$ 가 영단면의 형식적 이웃에서 $U(1)$-불변 히퍼카일러 계량을 갖는다는 것을 증명한다. 이 계량은 $M$ 상의 카일러 계량에 의해 유일하게 결정되며, $M$ 의 계량이 실해석적이라면 이 구조는 $T^*M$ 에서 $M$ 의 열린 이웃에서 진정한 히퍼카일러 계량으로 확장된다. 이는 이러한 공간들에 대한 추측을 해결하고 기존의 예들을 일반화한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a Kaehler manifold, and consider the total space $T^*M$ of the cotangent bundle to $M$. We show that in the formal neighborhood of the zero section $M \subset T^*M$ the space $T^*M$ admits a canonical hyperkaehler structure, compatible with the complex and holomorphic symplectic structures on $T^*M$. The associated hyperkaehler metric $h$ coincides with the given Kaehler metric on the zero section $M \subset T^*M$. Moreover, $h$ is invariant under the canonical circle action on $T^*M$ by dilatations along the fibers of $T^*M$ over $M$. We show that a hyperkaehler structure with these properties is unique. When the Kaehler metric on $M$ is real-analytic, we show that this formal hyperkaehler structure can be extended to an open neighborhood of the zero section. We also prove a hyperkaehler analog of the Darboux-Weinstein Theorem. To prove these results, we use the machinery of $R$-Hodge structures, following Deligne and Simpson.

연구 동기 및 목표

• Kähler 다양체 $M$ 위의 복소 코탄젠트 번들의 총공간 $T^*M$ 에 히퍼카일러 구조의 존재를 확립하는 것.
• 해당 히퍼카일러 계량이 영단면 $M \subset T^*M$ 의 형식적 이웃에서 구성될 수 있으며, 이는 $M$ 상의 카일러 계량을 확장한다는 것.
• $M$ 위에서 허영형 심플렉틱 $U(1)$-등변 자동형사상에 대해 $U(1)$-불변 히퍼카일러 계량의 유일성을 증명하는 것.
• 기저 계량이 실해석적이라면 형식적 히퍼카일러 계량을 $T^*M$ 에서 $M$ 의 열린 이웃에서 실해석적 계량으로 확장하는 것.
• 이러한 구성이 $U(1)$-등변 히퍼카일러 다양체에서 고정점 집합으로서 Kähler 다양체를 포함시키는 Hitchin 의 질문과 어떻게 관련되는지 밝히는 것.

제안 방법

• 기저 카일러 계량과 $T^*M$ 의 섬유에서의 $U(1)$-불변성에 기반하여 영단면의 형식적 이웃에서 히퍼카일러 계량을 구성한다.
• 확장된 계량의 유일성을 확보하기 위해 $U(1)$-불변성을 도입하고, 등변성에 의해 해공간을 제약한다.
• $(2,0)$-곡률과 토포로지가 없는 복소함수 연결 이론을 적용하여 계량을 직접적으로 의존하지 않고 계량 구조를 정의한다.
• 층 코hom로지의 국소화 구성법을 사용하여 $U(1)$-등변층의 복합체의 약성(acyclicity)을 증명하며, 이는 존재성 증명에 핵심적이다.
• 형식적 다르부 정리와 변형 이론을 활용하여 형식적 설정에서 카일러 구조를 히퍼카일러 구조로 올리는 데 사용한다.
• 형식적 이웃 $¯{T}M$ 상의 호지 다양체 구조와 실해석 함수층의 곱셈 필터링 간의 대응관계를 설정한다. 이 필터링은 혼합 $¯{\mathbb{R}}$-호지 구조 성질을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 Kähler 다양체 $M$ 에 대해, 그 위의 복소 코탄젠트 번들의 총공간 $T^*M$ 가 영단면의 형식적 이웃에서 히퍼카일러 계량을 갖는가?
• RQ2 해당 히퍼카일러 계량은 $U(1)$-불변성과 기저 카일러 계량에 의해 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ3 형식적 히퍼카일러 계량이 $T^*M$ 에서 $M$ 의 열린 이웃에서 실해석적 계량으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 형식적 이웃 $¯{T}M$ 상의 호지 다양체 구조와 $M$ 상의 실해석 함수층에 대한 곱셈 필터링 간에 자연스러운 대응관계가 존재하는가?
• RQ5 모든 Kähler 다양체는 $U(1)$-등변 히퍼카일러 다양체에서의 $U(1)$-행동의 고정점 집합으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 Kähler 다양체 $M$ 에 대해, 영단면의 형식적 이웃에서 $U(1)$-불변 히퍼카일러 계량이 존재하며, 이는 기저 계량을 확장한다.
• 이 히퍼카일러 계량은 $U(1)$-불변성 제약 조건으로 인해 $M$ 위에서 허영형 심플렉틱 $U(1)$-등변 자동형사상에 대해 유일하다.
• 만약 $M$ 상의 카일러 계량이 실해석적이라면, 형식적 히퍼카일러 계량은 $T^*M$ 에서 $M$ 의 열린 이웃에서 실해석적 히퍼카일러 계량으로 수렴한다.
• 이 구성은 Kähler 다양체를 $U(1)$-등변 히퍼카일러 다양체에서의 고정점 집합으로 포함시키는 Hitchin 의 질문에 대한 긍정적인 답변을 제공한다.
• $\overline{T}M$ 상의 호지 다양체 구조의 괴로미어와 $\mathcal{O}_{\mathbb{R}}(M) \otimes \mathbb{C}$ 상의 곱셈 필터링 사이에 자연스러운 전단사 대응관계가 확립된다. 이 대응관계에서 관련 삼중형은 혼합 $¯{\mathbb{R}}$-호지 구조를 이룬다.
• 필터링의 첫 번째 비자명한 항은 $M$ 상의 복소함수층에 해당하며, 전체 필터링은 그 $F^{-1}$-항에 의해 결정된다.