[논문 리뷰] Hyperkahler manifolds and nonabelian Hodge theory of (irregular) curves

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 유리형 연결성과 히긴스(bundle)를 갖는 비아벨리안 히오지 이론을 비정칙 곡선—유리형 연결성을 갖는 컴acts Riemann 표면—으로 확장한다. 이와 함께, 히긴스(bundle)의 모듈리 공간(Dolbeault), 연결성의 모듈리 공간(De Rham), 표현의 모듈리 공간(Betti)이 히퍼카일러 다양체임을 보여준다. 주요 기여는 이러한 모듈리 공간, 특히 $E_8$의 경우, ALE 공간과 같은 잘 알려진 히퍼카일러 다양체들과 미분동형임을 보여주는 것으로, 특별히 특이한 삼차 곡선 위의 점들에 대한 $ p^2$의 블로우업을 통한 명시적 기하적 실현이 가능하다.

ABSTRACT

Short survey based on talk given at the Institut Henri Poincare January 17th 2012, during program on surface groups. The aim was to describe some background results before describing in detail (in subsequent talks) the results of [Boa11c] related to wild character varieties and irregular mapping class groups.

연구 동기 및 목표

• 유리형 특이점을 갖는 컴팩트 곡선에서 비아벨리안 히오지 이론을 비정칙 곡선으로 일반화하기.
• 비정칙 곡선 위의 유리형 히긴스(bundle)와 연결성의 모듈리 공간이 히퍼카일러 다양체임을 확립하기.
• 특히 $E_8$의 경우, 특이한 삼차 곡선 위의 점들에 대한 $ p^2$의 블로우업을 통한 이러한 히퍼카일러 다양체의 명시적 기하적 실현 기술하기.
• 다른 대수적 구조를 지닌 Betti, Dolbeault, De Rham 모듈리 공간 간에 분석적 동형을 연결하기.
• 모듈리 공간 위의 대수적 구조를 통해 비정칙 곡선에 대한 사상 클래스 군 작용을 일반화하기.

제안 방법

• 비정칙 곡선 위에서 비아벨리안 히오지 대응을 사용하여 Dolbeault(Higgs bundle), De Rham(연결성), Betti(표현) 모듈리 공간 간의 관계를 설정한다.
• 유한차원 ALE 몰입의 일반화로서, 무한차원 공간의 히퍼카일러 몰입을 통해 이러한 모듈리 공간 위에 히퍼카일러 구조를 구성한다.
• 특정한 히퍼카일러 다양체—예를 들어 $E_8$ 유형의 ALE 공간—을 특이한 삼차 곡선 위의 9개 점에 대해 $ p^2$를 블로우업하여 실현한다.
• 9개 점의 합이 0이면, 그로 인한 표면 $S$는 Dolbeault 모듈리 공간 $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$과 미분동형임을 보여준다; 합이 0이 아니면 $S \cong \ncal M_{\text{DR}}(E_8)$가 된다.
• 리만–힐베르트 대응을 사용하여 $ cal M_{\text{DR}}$과 $ cal M_{\text{B}}$ 사이에 분석적 동형을 확립한다. 이는 대수적 동형이 존재하지 않음에도 불구하고 성립한다.
• 가우스–마니ン 접속을 적용하여 비선형 등모노드롬 시스템을 유도하고, 피카르–푸슈 및 파이레베 방정식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리형 히긴스(bundle)와 연결성의 모듈리 공간이 비정칙 곡선에서 어떻게 히퍼카일러 구조를 유산하는가?
• RQ2 $E_8$ 유형의 비정칙 곡선에서 유도된 히퍼카일러 다양체의 기하적 실현은 무엇인가?
• RQ3 다른 대수적 구조를 지닌 Betti, Dolbeault, De Rham 모듈리 공간이 분석적으로 동형일 수 있는가?
• RQ4 비정칙 곡선의 허용 가능한 변형을 통해 사상 클래스 군 작용이 특성 다양체에 대해 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 이러한 모듈리 공간이 $ p^2$ 위의 블로우업 구조를 통해 고전적인 ALE 히퍼카일러 다양체를 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 특수한 $E_8$의 경우, $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$ 모듈리 공간은 특이한 삼차 곡선 위의 9개 점에 대해 $ p^2$를 블로우업하여 얻어진 복소 표면 $S$와 미분동형이다. 이 9개 점들은 군 법칙에서 합이 0이 된다.
• 9개 점의 합이 0이 아니면, 동일한 표면 $S$는 De Rham 모듈리 공간 $ cal M_{\text{DR}}(E_8)$과 미분동형이다. 비제로 합은 스케일링으로 인해 중요하지 않다.
• 8개 점만 존재할 경우, 그로 인한 표면은 개방적이고 매끄러운 아핀 모듈리 공간 $ cal M^*(E_8)$과 미분동형이며, 이는 $(-2)$-곡선의 $E_8$ 구성요소를 포함한다.
• Betti 공간 $ cal M_{\text{B}}(E_8)$는 De Rham 공간과 분석적으로 동형이지만 기하학적으로는 다름. 이는 $ p^2$의 노드를 가진 삼차 곡선 위의 8개 점이 그의 매끄러운 부분에 위치할 때 유도된다.
• 모듈리 공간의 개방 부분 $ cal M^*$은 $A_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, 또는 $E_8$ 유형의 ALE 히퍼카일러 다양체와 미분동형이며, 크론하이머의 구성법을 일반화한다.
• 모듈리 공간 위의 히퍼카일러 구조는 무한차원 공간의 히퍼카일러 몰입으로 유도되며, 이는 유한차원 ALE 몰입과 대비된다.