[논문 리뷰] Hypersurfaces in H^{n+1} and conformally invariant equations: the generalized Christoffel and Nirenberg problems

José M. Espinar, José A. Gálvez외 1명|ArXiv.org|2007. 06. 15.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 48인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 구 위의 등각 불변 PDE와 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 초표면 사이의 깊은 대응을 수립하며, $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 일반화된 크리스토펠 문제와 $\mathbb{S}^n$ 상에서 스칼라 곡률를 지정하는 니렌베르크 문제 사이의 동치성을 보여준다. 초등적 곡률 반지름과 하이퍼볼릭 가우스 사상의 도입을 통해 $\mathbb{S}^n$ 상의 등각 메트릭의 쇼우텐 텐서를 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 초표면의 주곡률과 연결하며, 하이퍼볼릭 공간 내에서 등각 곡률이 일정한 초표면은 반드시 둥근 구임을 증명한다.

ABSTRACT

Our first objective in this paper is to give a natural formulation of the Christoffel problem for hypersurfaces in $H^{n+1}$, by means of the hyperbolic Gauss map and the notion of hyperbolic curvature radii for hypersurfaces. Our second objective is to provide an explicit equivalence of this Christoffel problem with the famous problem of prescribing scalar curvature on $§^n$ for conformal metrics, posed by Nirenberg and Kazdan-Warner. This construction lets us translate into the hyperbolic setting the known results for the scalar curvature problem, and also provides a hypersurface theory interpretation of such an intrinsic problem from conformal geometry. Our third objective is to place the above result into a more general framework. Specifically, we will show how the problem of prescribing the hyperbolic Gauss map and a given function of the hyperbolic curvature radii in $H^{n+1}$ is strongly related to some important problems on conformally invariant PDEs in terms of the Schouten tensor. This provides a bridge between the theory of conformal metrics on $§^n$ and the theory of hypersurfaces with prescribed hyperbolic Gauss map in $\H^{n+1}$. The fourth objective is to use the above correspondence to prove that for a wide family of Weingarten functionals $W(\k_1,..., \k_n)$, the only compact immersed hypersurfaces in $H^{n+1}$ on which $W$ is constant are round spheres.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 초표면에 대해 하이퍼볼릭 가우스 사상과 초등적 곡률 반지름을 도입하여 유클리드 곡률 반지름의 자연스러운 대체로 일반화된 크리스토펠 문제를 제시한다.
• 등각 메트릭에 대해 스칼라 곡률를 지정하는 니렌베르크 문제와 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 크리스토펠 문제 사이의 명시적 동치성을 수립한다.
• 쇼우텐 텐서를 포함하는 등각 불변 PDE와 관련하여, 하이퍼볼릭 가우스 사상과 하이퍼볼릭 곡률 반지름의 함수를 지정하는 문제를 더 넓은 프레임워크 안에서 정리한다.
• 이 대응을 적용하여, 광범위한 클래스의 웨잉아르텐 함수성에 대해, $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 고정된 $\mathcal{W}$를 갖는 컴act 임베딩 초표면은 반드시 둥근 구임을 증명한다.

제안 방법

• 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 유클리드 가우스 사상의 자연스러운 일반화로 초등적 곡률 반지름을 정의한다.
• 주곡률 $\kappa_i$에 대해 $\mathcal{R}_i = 1/|1 - \kappa_i|$로 정의된 하이퍼볼릭 곡률 반지름을 도입하여 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 크리스토펠 문제를 일반화한다.
• 등각 메트릭 $g = e^{2\rho}g_0$와 하이퍼볼릭 가우스 사상 및 곡률 반지름이 지정된 초표면 사이의 오고가기 대응을 구성한다.
• 등각 메트릭 $g$의 쇼우텐 텐서의 고유값 $\lambda_i$와 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내 초표면의 주곡률 $\kappa_i$ 사이의 관계를 공식 $2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$로 연결한다.
• 공디지 방정식과 공간형에서의 웨잉아르텐 표면 이론을 사용하여, 만약 웨잉아르텐 함수성 $\mathcal{W}(\kappa_1, \dots, \kappa_n)$이 일정하고 그 편도수의 부호 조건을 만족한다면, 초표면은 완전히 융합되어야 한다는 것을 보인다.
• 수평 초표면의 메트릭 구성 방식을 통해 $M^n$ 상에 유도된 메트릭이 국소적으로 등각 평탄하고 전역적으로 잘 정의되어 있으며, 쇼우텐 텐서 고유값이 $1/(4\lambda_i)$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 가우스 사상이 존재하지 않는다는 점을 감안할 때, 고전적 크리스토펠 문제를 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 초표면으로 자연스럽게 확장할 수 있는가?
• RQ2 쇼우텐 텐서와 주곡률를 연결하는 하이퍼볼릭 가우스 사상과 하이퍼볼릭 곡률 반지름을 포함한 기하학적 대응을 통해, $\mathbb{S}^n$ 상의 등각 메트릭과 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 초표면 사이에 기하학적 연관성이 존재하는가?
• RQ3 니렌베르크 문제에서 $\mathbb{S}^n$ 상에서 스칼라 곡률를 지정하는 것이 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 곡률 반지름을 지정하는 기하학적 문제와 어느 정도 대응되는가?
• RQ4 웨잉아르텐 함수성 $\mathcal{W}(\kappa_1, \dots, \kappa_n)$에 어떤 조건이 성립할 경우, $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 고정된 $\mathcal{W}$를 갖는 컴팩트 임베딩 초표면은 반드시 둥근 구가 되는가?
• RQ5 $\mathbb{S}^n$ 상의 등각 메트릭의 쇼우텐 텐서 고유값은 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내의 대응 초표면의 주곡률과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 일반화된 크리스토펠 문제와 $\mathbb{S}^n$ 상에서 스칼라 곡률를 지정하는 니렌베르크 문제 사이의 동치성은 하이퍼볼릭 가우스 사상과 하이퍼볼릭 곡률 반지름을 포함한 기하학적 대응을 통해 수립된다.
• 등각 메트릭 $g = e^{2\rho}g_0$의 쇼우텐 텐서 고유값 $\lambda_i$는 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내 대응 초표면의 주곡률 $\kappa_i$와 공식 $2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$을 통해 연결된다.
• 모든 매끄러운 함수 $\mathcal{W}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$에 대해 $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_i} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_j} > 0$ 이며 $\kappa_i = \kappa_j$일 때 성립한다면, $\mathbb{H}^{n+1}$ 내에서 고정된 $\mathcal{W}$를 갖는 컴팩트 임베딩 초표면은 둥근 구 이외에 존재하지 않는다.
• 두 차원의 경우, $\mathbb{S}^2$ 상의 등각 메트릭의 쇼우텐 텐서 고유값 $\lambda_1, \lambda_2$가 $\mathcal{W}(\lambda_1, \lambda_2) = 0$ 이고 $\lambda_1 = \lambda_2$일 때 $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_1} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_2} > 0$ 이면, 그 메트릭은 선형 분수 변환에 의한 표준 메트릭의 역상이다.
• 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}^{n+1}$ 내 초표면의 수평 초표면 메트릭은 $M^n$ 상에 전역적으로 잘 정의되고 국소적으로 등각 평탄한 메트릭을 유도하며, 이 메트릭의 쇼우텐 텐서 고유값은 $1/(4\lambda_i)$이다. 여기서 $\lambda_i$는 $\mathbb{S}^n$ 상 대응 등각 메트릭의 쇼우텐 텐서 고유값이다.
• 등각 메트릭과 $\mathbb{S}^n$ 상의 초표면 사이의 대응은 등각 임bedding의 선택과 무관하여, $M^n$ 상에서 메트릭 $g^*$가 잘 정의됨을 보장한다.