[논문 리뷰] Hypocoercivity based Sensitivity Analysis and Spectral Convergence of the Stochastic Galerkin Approximation to Collisional Kinetic Equations with Multiple Scales and Random Inputs

Liu Liu, Shi Jin|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 30.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 충돌성 운동방정식에 무작위 입력과 다중 척도를 가진 경우에 적용되는 스토하스틱 갈레르킨(SG) 방법의 감도 분석 및 스펙트럼 수렴에 대해 히포코ercivity 기반 프레임워크를 수립한다. 해와 수치 오차가 시간에 따라 지수적으로 감쇠됨을 증명하고, 수직 다항식 기반의 gPC-SG 방법이 무작위 다항식에 대한 온건한 조건 하에서 스펙트럼 정확도를 보임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a general framework to study general class of linear and nonlinear kinetic equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, and their stochastic Galerkin approximations, in both incompressible Navier-Stokes and Euler (acoustic) regimes. First, we show that the general framework put forth in [C. Mouhot and L. Neumann, Nonlinearity, 19, 969-998, 2006, M. Briant, J. Diff. Eqn., 259, 6072-6141, 2005] based on hypocoercivity for the deterministic kinetic equations can be easily adopted for sensitivity analysis for random kinetic equations, which gives rise to an exponential convergence of the random solution toward the (deterministic) global equilibrium, under suitable conditions on the collision kernel. Then we use such theory to study the stochastic Galerkin (SG) methods for the equations, establish hypocoercivity of the SG system and regularity of its solution, and spectral accuracy and exponential decay of the numerical error of the method in a weighted Sobolev norm.

연구 동기 및 목표

• 초기 조건과 충돌 커널에서 무작위 불확실성을 지닌 선형 및 비선형 운동방정식의 감도 분석을 위한 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 히포코ercivity 이론을 결정론적 운동방정식에서 무작위 운동방정식으로 확장하여, 가중 소볼레프 노름(무작위 공간 포함)에서 평형 상태로의 지수 수렴을 보장하기 위해.
• 이러한 방정식에 대한 스토하스틱 갈레르킨(SG) 방법을 분석하고, SG 시스템의 히포코ercivity와 정규성을 확립하기 위해.
• gPC-SG 근사에서 수치 오차의 스펙트럼 정확도와 지수적 시간 감쇠를 증명하기 위해.
• 무작위 입력이 있는 비압축성 라우아르-나비에-스토크스 및 뉴턴-에일러(음향) 척도 영역으로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 무코트와 뉴먼(2006) 및 브리앙트(2015)의 히포코ercivity 프레임워크를 확장하여, 가중 소볼레프 노름에 무작위 변수를 포함하도록 추정치를 확장함으로써, 무작위 운동방정식에 적용함.
• 무작위 공간에서 해를 근사하기 위해 gPC(일반화 다항식 혼합) 스토하스틱 갈레르킨 이산화를 사용하여, 문제를 위상 및 무작위 공간에서의 결정론적 시스템으로 변환함.
• 무작위 입력이 있는 선형화된 충돌 연산자에 대해 강제성 추정치를 확립하여, gPC-SG 방법의 스펙트럼 정확도를 보장함.
• 가중 $L^2$ 및 소볼레프 노름에서 에너지 추정치를 유도하여, 해와 오차의 시간에 따른 지수 감쇠를 증명함.
• 비선형 항을 오차 방정식에서 유계로 제한하기 위해 코시-슈바르츠 및 비선형 분해 기법(예: $\mathcal{F}(h,h) - \mathcal{F}(h^K,h^K) = \mathcal{F}(h-h^K,h) + \mathcal{F}(h^K,h-h^K)$)을 적용함.
• 도함수가 유계이고 구적 규칙에 대해 온건한 조건을 만족하는 수직 다항식 전개를 사용하여 안정성과 수렴성을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히포코ercivity 프레임워크를 초기 조건과 충돌 커널에서의 무작위 불확실성을 지닌 운동방정식의 감도를 정량화하기 위해 확장할 수 있는가?
• RQ2 무작위 운동방정식의 해가 무작위 변수를 포함한 가중 소볼레프 노름에서 결정론적 전역 평형 상태로 지수적으로 수렴하는가?
• RQ3 무작위 입력과 다중 척도를 지닌 운동방정식에 대해 스토하스틱 갈레르킨 방법이 스펙트럼 정확도를 가지는가?
• RQ4 gPC-SG 근사에서 수치 오차는 시간에 따라 지수적으로 감쇠되는가? 그리고 어떤 조건에서 그러한 감쇠가 성립하는가?
• RQ5 분석 결과를 유계가 아닌 무작위 영역, 수직 다항식이 아닌 경우, 또는 경계값 문제로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 충돌 커널에 대한 온건한 조건 하에서, 운동방정식의 무작위 해는 가중 소볼레프 노름에서 결정론적 전역 평형 상태로 지수적으로 수렴하며, 감쇠율은 $e^{-\tau t}$이다.
• 스토하스틱 갈레르킨 시스템에서는 히포코ercivity가 확립되어 있어, 물리적 공간과 무작위 공간 양쪽에서 유일한 해가 존재하고 정규성이 보장된다.
• gPC-SG 방법은 무작위 공간에서 스펙트럼 정확도를 달성하며, 해가 매끄럽다면 오차가 $O(K^{-r})$로 감쇠되며, 여기서 $K$는 다항식 차수이고 $r$는 정규성 지수이다.
• 전체 수치 오차 $||e^K||_{H_{x,v}^s L_z^2}$는 주어진 가정 하에 $e^{-\tau_1 t}$로 지수적으로 감쇠되며, $\tau_1 > 0$이다.
• 오차 추정치는 무작위 변수 $z$에 대해 균일하며, 시간 감쇠 결과는 해의 기대값과 분산 모두에 대해 성립한다.
• 분석은 비압축성 라우아르-나비에-스토크스($\alpha=1$) 및 뉴턴-에일러(음향, $\alpha=0$) 척도 영역에 모두 적용되며, 볼츠만, 랑다우, 준고전적 휴식 모델으로도 확장된다.