[논문 리뷰] Ideal structure and simplicity of the C*-algebras generated by Hilbert bimodules

Tsuyoshi Kajiwara, Claudia Pinzari외 1명|ArXiv.org|1998. 02. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수 위의 힐버트 이중모듈러스에 의해 생성된 C*-대수에서의 단순성과 이상적 구조에 대한 조건을 수립한다. '(I)-자유성'과 '(II)-자유성'을 도입하여, (I)-자유 이중모듈러스는 생성자에 관계없이 유일한 C*-대수를 유도하며, 계수 대수가 X-단순일 경우 대수가 단순해짐을 증명한다. 또한 (II)-자유 이중모듈러스는 이상의 완전한 분류를 가능하게 하며, 순수 무한성, 비핵심성인 단순 C*-대수의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

Pimsner introduced the C*-algebra O_X generated by a Hilbert bimodule X over a C*-algebra A. We look for additional conditions that X should satisfy in order to study simplicity and, more generally, the ideal structure of O_X when X is finite projective. We introduce two conditions: `(I)-freeness' and `(II)-freeness', stronger than the former, in analogy with [J. Cuntz, W. Krieger, Invent. Math. 56, 251-268] and [J. Cuntz, Invent. Math. 63, 25-40] respectively. (I)-freeness comprehend the case of the bimodules associated with an inclusion of simple C*-algebras with finite index, real or pseudoreal bimodules with finite dimension and the case of `Cuntz-Krieger bimodules'. If X satisfies this condition the C*-algebra O_X does not depend on the choice of the generators when A is faithfully represented. As a consequence, if X is (I)-free and A is X-simple, then O_X is simple. In the case of Cuntz-Krieger algebras, X-simplicity corresponds to irreducibility of the defining matrix. If A is simple and p.i. then O_X is p.i., if A is nonnuclear then O_X is nonnuclear. We therefore provide examples of (purely) infinite nonnuclear simple C*-algebras. Furthermore if X is (II)-free, we determine the ideal structure of O_X.

연구 동기 및 목표

• C*-대수 위의 힐버트 이중모듈러스에 의해 생성된 C*-대수에서의 단순성과 이상적 구조에 대한 일반 기준을 수립한다.
• 쿠운츠–크리거 대수, 와이즈드 프로덕트, 도플러거–로버츠 대수에 관한 기존 결과들을 하나의 프레임워크로 통합한다.
• 쿠운츠–크리거 및 쿠운츠–크리거–피姆스너 구성에서의 조건들보다 더 강력한 대응 조건으로 '(I)-자유성'과 '(II)-자유성'을 도입한다.
• 이중모듈러스 X와 계수 대수 A의 성질에 기반하여 C*-대수 O_X가 단순, 순수 무한성, 또는 비핵심성인지 여부를 특성화한다.
• 힐버트 이중모듈러스 구성에 의해 순수 무한성, 비핵심성, 단순성을 갖는 새로운 C*-대수의 예를 제공한다.

제안 방법

• C*-대수 O_X를 힐버트 이중모듈러스의 오른쪽 텐서 C*-분류에서의 도플러거–로버츠 대수로 식별한다.
• 쿠운츠–크리거 대수와 와이즈드 프로덕트와 유사한 Z-중량 구조를 O_X에 도입하여 동차 성분을 분석한다.
• (I)-자유성 하에서 동차 원소들의 밀도 있는 *-부분대수가 단일 C*-노름을 갖음을 증명하여 표현의 충실도를 확보한다.
• 도플러거–로버츠 이론과 쿠운츠–크리거 이론의 결과를 적용하여 X에서 O_X로의 표현을 충실하게 확장한다.
• 반복적 연산자 구성과 L_A(X^{igotimes r}_A) 내의 사영을 사용하여 노름 제어와 근사 항등원을 검증한다.
• 상대적 중심과 외부 내부자기형사 이론을 적용하여 순수 무한성의 경우, 특히 계수 대수가 순수 무한일 경우를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A를 기반으로 하는 유한 프로젝티브 힐버트 이중모듈러스 X에 대해, O_X의 이상적 구조는 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 X에 어떤 조건이 성립하면 O_X가 단순해지며, 이러한 조건들은 쿠운츠–크리거 대수에 대한 알려진 기준을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 O_X가 순수 무한성 또는 비핵심성이 되기 위한 조건은 무엇이며, 이러한 C*-대수들은 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 (I)-자유성이 충실한 표현에서 생성자 선택에 관계없이 O_X가 독립적임을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 A의 X-단순성과 O_X의 단순성 사이의 관계는 무엇이며, 이는 쿠운츠–크리거 대수에서의 기약성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• X가 (I)-자유이고 A가 X-단순일 경우, O_X는 단순하다.
• A가 순수 무한성이고 X가 (I)-자유일 경우, O_X는 순수 무한성이다.
• A가 비핵심이고 X가 (I)-자유일 경우, O_X는 비핵심이다.
• A가 단순하고 순수 무한성일 경우, (I)-자유성 하에서 O_X는 p.i. (순수 무한성)이다.
• X가 (II)-자유일 경우, O_X의 이상적 구조는 A의 일정한 이상의 집합에 의해 완전히 결정된다.
• X가 A에서 충실한 표현을 갖는 C*-대수 D에 대해, X가 (I)-자유일 경우, O_X의 충실한 표현으로의 확장은 유일하게 존재한다.