[논문 리뷰] Ideal structure of the C*-algebra of Thompson group T

Collin Bleak, Kate Juschenko|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Haagerup과 Olesen의 결과에 대한 역을 확립하며, Thompson의 군 F가 비단순임과 동치로, 유한 부분집합 H ⊂ T 가 서로소인 H₁과 H₂로 분해되어서 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)를 만족하고, ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h)에 의해 생성된 닫힌 아이디얼이 전체의 축약 C*-대수 C∗_λ(T)가 되는 경우가 존재할 때, F가 비단순임을 증명한다. 저자들은 군 C*-대수의 단순성에 대한 Powers의 조건의 약화된 버전을 도입하여, 이 조건이 C∗_λ(T)의 단순성을 증명하는 데 부족하다는 것을 보이며, 유리수 회전수를 가진 원 위의 호메오모르피즘 군에서 자유 부분군을 생성하기 위해 새로운 Ping-Pong 보조정리의 변형을 사용한다.

ABSTRACT

In a recent paper Uffe Haagerup and Kristian Knudsen Olesen show that for Richard Thompson's group $T$, if there exists a finite set $H$ which can be decomposed as disjoint union of sets $H_1$ and $H_2$ with $\sum_{g\in H_1}π(g)=\sum_{h\in H_2}π(h)$ and such that the closed ideal generated by $\sum_{g\in H_1}λ(g)-\sum_{h\in H_2}λ(h)$ coincides with $C^*_λ(T)$, then the Richard Thompson group $F$ is not amenable. In particular, if $C_λ^*(T)$ is simple then $F$ is not amenable. Here we prove the converse, namely, if $F$ is not amenable then we can find two sets $H_1$ and $H_2$ with the above properties. The only currently available tool for proving simplicity of group $C^*$-algebra is Power's condition. We show that it fails for $C_λ^*(T)$ and present an apparent weakening of that condition which could potentially be used for various new groups $H$ to show the simplicity of $C_λ^*(H)$. While we use our weakening in the proof of the first result, we also show that the new condition is still too strong to be used to show the simplicity of $C_λ^*(T)$. Along the way, we give a new application of the Ping-Pong Lemma to find free groups as subgroups in groups of homeomorphisms of the circle generated by elements with rational rotation number.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 Haagerup과 Olesen의 결과에 대한 역을 확립하여, C∗_λ(T)의 단순성과 F의 비단순성 사이의 연관성을 규명한다.
• . F의 비단순성이 C∗_λ(T)의 단순성과 동치인지 여부를 조사한다. 이는 기하군론에서 핵심적인 열린 문제이다.
• . 저자들은 C∗_λ(G)의 단순성을 증명하기 위한 Powers의 기준보다 더 약한 새로운 조건을 개발하고자 한다.
• . 이 새로운 조건이 더 유연함에도 불구하고, C∗_λ(T)의 단순성을 확보하지 못함을 보이고자 한다.
• . 핵심 목표로는 유리수 회전수를 가진 원 위의 호메오모르피즘 군에서 자유 부분군을 탐지하기 위해 새로운 형태의 Ping-Pong 보조정리를 적용하는 것이다.

제안 방법

• . 주요 정리의 증명은 F가 비단순임을 전제로 하여, T의 유한 부분집합 H ⊂ T 가 서로소인 H₁과 H₂로 분해되어서 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)를 만족하는 것을 구성함에 기반한다.
• . 저자들은 원 위에서 유리수 회전수를 가진 군 원소들이 작용할 때 자유 부분군을 생성함을 보이기 위해 새로운 형태의 Ping-Pong 보조정리(보조정리 12)를 사용한다.
• . 저자들은 회전수 1/p인 비순환 원소 ˜g를 구성하고, 그 원소의 궤도가 크기가 p인 하나의 궤도만을 가지도록 정의하며, g = γ^d ˜g로 정의하여 특정 집합의 반복적 이미지가 주어진 열린 집합 U 내에 유지되도록 보장한다.
• . 핵심 기술적 구성은 간격 (a_i, b_i)를 선택하고, 그들의 합집합의 여집합이 내부가 비어 있지 않은 닫힌 간격들의 합집합이 되도록 보장하는 것으로, 이는 군 작용 하에서의 동역학을 통제 가능하게 한다.
• . 보조정리 13의 증명은 ⟨k_i⟩에 의해 유한 주기 궤도를 가지지 않는 x_j 가 존재한다는 사실에 기반하며, 이는 Ping-Pong 보조정리를 적용하여 자유 부분군을 생성할 수 있도록 한다.
• . Powers의 조건의 약화된 형태(조건 2)를 도입하였으며, 이는 유한 부분집합 H ⊂ T \ {e}로부터 큰 자유 부분군을 구성할 수 있는 능력을 요구하지만, C∗_λ(T)의 단순성을 증명하는 데는 부족함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . Thompson의 군 F의 비단순성은 그 축약 C*-대수 C∗_λ(T)의 단순성과 동치인가?
• RQ2 . Powers의 조건의 약화된 형태가, 원래 조건이 실패하는 T와 같은 군의 경우 C*-대수의 단순성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 . ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)를 만족하고, ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h)에 의해 생성된 닫힌 아이디얼이 전체 C∗_λ(T)가 되는 유한 부분집합 H ⊂ T 가 존재할 경우, F의 비단순성이 유도되는가?
• RQ4 . 새로운 형태의 Ping-Pong 보조정리는 유리수 회전수를 가진 원 호메오모르피즘 군에서 자유 부분군을 탐지하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 . Powers의 조건은 실패하지만 조건 2는 성립하는 고유 추적을 가진 군 G가 존재하는가?

주요 결과

• . 이 논문은 F가 비단순임과 동치로, T의 유한 부분집합 H ⊂ T 가 서로소인 H₁과 H₂로 분해되어서 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)를 만족하고, ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h)에 의해 생성된 닫힌 아이디얼이 전체 C∗_λ(T)가 되는 경우가 존재할 때, F가 비단순임을 증명한다.
• . 저자들은 Thompson의 군 T에 대해 Powers의 원래 조건이 실패함을 보이며, 이는 T가 고유 추적을 가지지만 축약 C*-대수가 단순하지 않은 것으로 알려진 첫 번째 군일 수 있음을 시사한다.
• . Powers의 조건의 자연스러운 약화된 형태인 새로운 조건(조건 2)을 도입하였으며, 이 조건은 모든 유한 부분집합 H ⊂ G \ {e}에 대해 필요한 자유 부분군 구성이 가능할 경우 C∗_λ(G)의 단순성을 보장한다.
• . 비록 일반적으로 적용 가능하지만, 조건 2는 여전히 C∗_λ(T)의 단순성을 증명하는 데에는 너무 강력하여, 특정한 유한 부분집합 H ⊂ T \ {e}에 대해 필요한 구성이 실패하기 때문에 성립하지 않는다.
• . 새로운 형태의 Ping-Pong 보조정리(보조정리 12)를 개발하고 적용하여, 유리수 회전수를 가진 원 호메오모르피즘 군의 일부 원소들이 자유 부분군을 생성함을 보였다.
• . 이 논문은 새로운 조건 2가 Powers의 원래 조건보다 진정으로 더 약하다는 증거를 제공하지만, 여전히 C∗_λ(T)의 단순성을 증명하는 데에는 부족하다.