[논문 리뷰] Ideals in Left Almost Semigroups

Qiaser Mushtaq, Madad Khan|ArXiv.org|2009. 04. 10.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 5인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 왼쪽 거의 반군(LA-semigroups)에서 이상의 성질을 조사하며, 왼쪽 항등원을 갖는 LA-반군에서 모든 이상이 소 이상임과 동시에 그 이상이 등幂임과 동시에 이상들의 집합이 포함 관계에 대해 전체 순서임이 서로 동치임을 증명한다. 정규 LA-반군의 경우, 모든 이상이 소 이상임은 이상들의 집합이 전체 순서 체인을 이룰 때 정확히 성립하며, 소 이상성은 강한 기초성과 동치임을 증명한다. 이러한 결과들은 중앙법과 왼쪽 역원 법칙을 만족하는 비결합 반군에서 소 이상의 구조적 조건을 명확히 한다.

ABSTRACT

A left almost semigroup (LA-semigroup) or an Abel-Grassmann's groupoid (AG-groupoid) is investigated in several papers. In this paper we have discussed ideals in LA-semigroups. Specifically, we have shown that every ideal in an LA-semigroup S with left identity e is prime if and only if it is idempotent and the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have shown that an ideal of S is prime if and only if it is semiprime and strongly irreducible. We have proved also that every ideal in a regular LA-semigroup S is prime if and only if the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have proved in the end that every ideal in S is prime if and only if it is strongly irreducible and the set of ideals of S form a semilattice.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽 항등원이 존재하는 경우 왼쪽 거의 반군(LA-semigroups)에서 소 이상을 특성화하는 것.
• LA-semigroup에서 소 이상성, 등幂성, 이상들의 전체 순서 간의 관계를 조사하는 것.
• 정규 LA-semigroup에서 모든 이상이 소 이상이 되는 조건을 규명하는 것.
• 정규 LA-semigroup에서 소 이상과 강한 기초 이상 간의 동치성 탐구.
• 이상의 구조적 성질, 예를 들어 최소성, 반소 이상성, 중앙법의 역할 등을 설정하는 것.

제안 방법

• LA-semigroup에서 기본적인 항등식으로서 왼쪽 역원 법칙 (ab)c = (cb)a 와 중앙법 (ab)(cd) = (ac)(bd) 를 사용한다.
• 왼쪽 항등원 e 를 적용하여 S = eS = Se 및 S = S² 등의 구조적 성질를 유도한다.
• 이상 이론적 구성, 예를 들어 I², a²I, 이상들의 교집합 및 합집합 등을 활용하여 닫힘성과 최소성 조건을 분석한다.
• 정규 LA-semigroup에서의 연산 AB = A ∩ B 를 사용하여 이상의 교집합과 곱셈 간의 관계를 설정하고, 동치성 증명을 가능하게 한다.
• 반순서 집합과 전체 순서의 개념을 포함한 격자 이론적 개념을 활용하여 이상들의 집합을 특성화한다.
• 모순에 의한 증명과 이상의 포함 관계를 활용하여 최소성 및 소 이상 조건을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 항등원을 갖는 LA-semigroup에서 모든 이상이 소 이상이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왼쪽 항등원을 갖는 LA-semigroup에서 이상들의 전체 순서는 소 이상성과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 정규 LA-semigroup에서 소 이상과 강한 기초 이상 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 정규 LA-semigroup에서 이상들의 집합이 반순서 집합을 이룰 조건은 무엇이며, 이는 이상의 소 이상성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 LA-semigroup에서 소 이상을 특성화하는 구조적 성질(예: 등幂성, 최소성 등)은 무엇인가?

주요 결과

• 왼쪽 항등원 e 를 갖는 LA-semigroup S에서 모든 이상은 소 이상이 되는 것과 동시에 그 이상이 등幂이며, 이상들의 집합이 포함 관계에 대해 전체 순서임이 서로 동치이다.
• S의 이상이 소 이상이 되는 것과 동시에 반소 이상이며 강한 기초 이상임이 서로 동치이다.
• 정규 LA-semigroup S에서 모든 이상이 소 이상이 되는 것은 이상들의 집합이 포함 관계에 대해 전체 순서임과 동시에 동치이다.
• 정규 LA-semigroup에서 모든 이상이 소 이상이 되는 것은 그것이 강한 기초 이상임과 동시에 동치이다.
• 정규 LA-semigroup에서 이상들의 집합은 연산 AΛB = AB 에 대해 반순서 집합을 이룬다.
• LA-semigroup에서 전체 순서를 이룬 소 이상들의 집합의 교집합은 다시 소 이상이 된다.