[논문 리뷰] Idempotent probability measures, I

Mykhailo Zarichnyi|ArXiv.org|2006. 08. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 아이드포텐트 확률 측도(마스로프 측도)의 함자가 **Comp** 범주에서 정규이며 모나드를 이룬다는 것을 증명한다. 이 함자는 초공간 함자(하이퍼스페이스 함자)를 부분함자로 포함한다. 논문은 아이드포텐트 측도에 대한 새로운 개념의 마일류틴 맵를 도입하여, 이 함자가 열린 전사 사상들을 유지한다는 것을 증명한다. 반면, 극한 확률 측도와는 달리, 극한 확률 측도의 경우 극한 대응이 열리지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

The set of all idempotent probability measures (Maslov measures) on a compact Hausdorff space endowed with the weak* topology determines is functorial on the category $\comp$ of compact Hausdorff spaces. We prove that the obtained functor is normal in the sense of E. Shchepin. Also, this functor is the functorial part of a monad on $\comp$. We prove that the idempotent probability measure monad contains the hyperspace monad as its submonad. A counterpart of the notion of Milyutin map is defined for the idempotent probability measures. Using the fact of existence of Milyutin maps we prove that the functor of idempotent probability measures preserves the class of open surjective maps. Unlikely to the case of probability measures, the correspondence assigning to every pair of idempotent probability measures on the factors the set of measures on the product with these marginals, is not open.

연구 동기 및 목표

• 에프라드 셰프린의 정의에 따라 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 아이드포텐트 확률 측도 함자가 정규임을 증명하는 것.
• 이 함자가 범주 **Comp**에서 모나드를 이룬다는 것을 보여주는 것.
• 초공간 함자가 부분함자로 포함되며, 초공간 모나드가 아이드포텐트 측도 모나드의 부분모나드로 포함됨을 보여주는 것.
• 아이드포텐트 측도에 대한 마일류틴 맵의 대응 개념을 정의하고, 이를 통해 함자가 열린 전사 사상들을 유지함을 증명하는 것.
• 아이드포텐트 설정에서 극한 대응 사상이 열리지 않는 이유를 조사하며, 고전적 확률 측도 이론과 대비하는 것.

제안 방법

• 아이드포텐트 확률 측도를 순서를 유지하는 함수형공간에 임bedding하는 라두프의 방법을 사용하여 함자적 구조를 분석한다.
• 고전적 함수해석학의 구성과 최대-덧셈 볼록 구조 사이의 관계를 연결하기 위해 아이드포텐트 대응 원리를 적용한다.
• 아이드포텐트 측도에 대한 새로운 마일류틴 맵 개념을 도입하여, 평균 연산자를 통해 고전적 개념을 일반화한다.
• 연속 함수에 의해 유도되는 준노름들에 의해 정의된 약한* 위상(weak* topology)을 아이드포텐트 측도 공간에 적용한다.
• 최대-덧셈 대수적 구조(⊕ = 최대, ⊙ = 덧셈)를 사용하여 아이드포텐트 선형성 조건을 만족하는 측도 함수형공간을 정의한다.
• 전사 사상의 열림성과 초공간으로의 역상 사상의 연속성 사이의 동치 관계를 활용하여, 열린 전사 사상의 유지성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 아이드포텐트 확률 측도 함자는 범주에서 정규인가?
• RQ2 아이드포텐트 확률 측도 함자에 모나드 구조를 줄 수 있으며, 만약 그렇다면 초공간 모나드와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 주어진 극한을 가진 연합 측도를 부여하는 극한 대응이 여전히 열린가?
• RQ4 아이드포텐트 측도에 대해 마일류틴 맵의 대응 개념을 정의할 수 있으며, 이는 함자가 열린 전사 사상들을 유지함을 보장하는가?
• RQ5 아이드포텐트 측도 공간에 자연스러운 메트리제이션(예: 칸토로비치 유형 또는 프로코르프 유형 거리)이 존재하는가?

주요 결과

• 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 아이드포텐트 확률 측도 함자는 에프라드 셰프린의 정의에 따라 정규이다.
• 이 함자는 범주 **Comp**에서 모나드를 이룬다. 이 모나드의 구조는 최대-덧셈 볼록 컴팩트 집합과 그들의 바리센터 맵과 관련되어 있다.
• 초공간 함자가 부분함자로 포함되며, 초공간 모나드는 아이드포텐트 측도 모나드의 부분모나드이다.
• 아이드포텐트 측도에 대해 마일류틴 맵의 대응 개념이 정의되었으며, 그 존재성은 함자가 열린 전사 사상들을 유지함을 의미한다.
• 극한 대응 사상—즉, 쌍의 아이드포텐트 측도에 대해 주어진 극한을 가진 연합 측도의 집합을 부여하는 사상—은 고전적 확률 이론과는 달리 열리지 않는다.
• 논문은 아이드포텐트 측도 공간에 자연스러운 메트리제이션이 존재하는지 여부를 열어두고 있으며, 특히 칸토로비치 유형 또는 프로코르프 유형 거리의 존재 여부는 미해결이다.