[논문 리뷰] Idempotents in triangulated monoidal categories

Matthew Hogancamp|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 모노이드 범주에서의 아이디포턴트 이론을 개발하며, 상보적인 아이디포턴트와 그 내적 대수를 도입한다. 아이디포턴트 쌍의 이중성에 기반한 테이트 대상 $\mathbf{T}$의 $\operatorname{Hom}$ 공간 $\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\rangle$ 는 $\langle\mathbf{U},\mathbf{C}[1]\rangle$ 와 동형이며, 연결 사상에 의해 단위 대수 구조를 지닌다. 이는 테이트 코hom로지의 일반화이다.

ABSTRACT

In these notes we develop some basic theory of idempotents in monoidal categories. We introduce and study the notion of a pair of complementary idempotents in a triangulated monoidal category, as well as more general idempotent decompositions of identity. If $\mathbf{E}$ is a categorical idempotent then $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ is a graded commutative algebra. The same is true of $\operatorname{Hom}(\mathbf{E},\mathbf{E}^c[1])$ under certain circumstances, where $\mathbf{E}^c$ is the complement. These generalize the notions of cohomology and Tate cohomology of a finite dimensional Hopf algebra, respectively.

연구 동기 및 목표

• 삼중화 및 고차 표현 이론에 응용하기 위한 삼각형 모노이드 범주에서의 단위 및 쌍단위 아이디포턴트 이론의 기초를 구축하기 위해.
• 카테고리적 아이디포턴트를 사용하여 유한 차원 히프 대수의 코호몰로지 및 테이트 코호몰로지를 일반화하기 위해.
• 유도 범주에서 테이트 대상과 단위/쌍단위 아이디포턴트 구조 사이의 대응관계를 확립하기 위해.
• 삼각형 범주에서 항등원의 아이디포턴트 분해와 포스트니코프 체계를 체계적으로 이해하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 모노이드 범주에서 단위 및 쌍단위 아이디포턴트를 $\eta: \mathbbm{1} \to \mathbf{U}$ 와 $\varepsilon: \mathbf{C} \to \mathbbm{1}$ 의 사상으로 도입하며, 이는 텐서곱에서 동형 조건을 만족한다.
• 삼각형 모노이드 범주에서 상보적인 아이디포턴트 $({\mathbf{C}}, {\mathbf{U}})$ 를 정의하고, 반직교 분해를 실현하기 위해 관련된 분리 삼각형을 구성한다.
• 포스트니코프 체계와 항등원의 선형 분해를 사용하여 내적 대수의 구조와 그의 그레디에이션 교환 법칙을 분석한다.
• 쌍대 아이디포턴트 쌍 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ 로부터 테이트 대상 $\mathbf{T}$ 를 구성하고, 이가 단위/쌍단위 아이디포턴트 구조를 상속받음을 보인다.
• 구조를 쌍대화하기 위해 함자 $(-)^\star$ 를 적용하고, $\operatorname{hom}(\mathbf{T},\mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$ 와 같은 $\operatorname{Hom}$ 공간 간의 동형을 증명한다.
• 연결 사상 $\delta: \mathbf{U} \to \mathbf{C}[1]$ 이 $\operatorname{hom}(\mathbf{U},\mathbf{C}[1])$ 의 대수에서 단위로 작용하며, $[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}] \mapsto [\delta]$ 를 통해 이를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 모노이드 범주에서의 단위 및 쌍단위 아이디포턴트는 코호몰로지 및 테이트 코호몰로지의 구조를 어떻게 일반화하는가?
• RQ2 상보적인 아이디포턴트는 삼각형 범주의 반직교 분해를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 아이디포턴트 분해와 포스트니코프 체계를 통해 어떻게 테이트 코호몰로지를 카테고리적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ4 테이트 대상 $\mathbf{T}$ 와 관련된 $\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ 에는 어떤 대수적 구조가 나타나는가?
• RQ5 아이디포턴트의 내적 대수와 그 보완의 내적 대수는 어떤 방식으로 그레디에이션 교환 법칙을 보이는가?

주요 결과

• 카테고리적 아이디포턴트 $\mathbf{E}$ 의 내적 대수 $\operatorname{End}(\mathbf{E})$ 는 그레디에이션 교환 법칙을 가진 대수이다.
• 적절한 조건 하에서 $\operatorname{Hom}(\mathbf{E}, \mathbf{E}^c[1])$ 도 그레디에이션 교환 법칙을 가진 대수를 이룬다. 이는 테이트 코호몰로지를 일반화한다.
• 쌍대 아이디포턴트 쌍 $({\mathbf{U}}^\star, {\mathbf{U}})$ 와 관련된 테이트 대상 $\mathbf{T}$ 는 ${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\oplus})$ 에서 단위 아이디포턴트 구조를 가지며, 보완으로 $\mathbf{C} \oplus \mathbf{U}^\star$ 를 갖는다.
• $\mathbf{T}[-1]$ 은 ${\mathcal{K}}({\mathcal{C}}^{\Pi})$ 에서 쌍단위 아이디포턴트 구조를 가지며, 보완으로 $\mathbf{U} \oplus \mathbf{C}^\star$ 를 갖는다.
• 자명한 동형사상 $\operatorname{hom}(\mathbf{T}, \mathbf{T}) \simeq \operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ 이 존재하며, $[\operatorname{Id}_{\mathbf{T}}]$ 는 연결 사상 $[\delta]$ 로 매핑된다.
• $\operatorname{hom}(\mathbf{U}, \mathbf{C}[1])$ 는 단위 $[\delta]$ 를 지닌 단위 대수 구조를 지니며, 이는 일반화된 테이트 코호몰로지 대수로 간주된다.