[논문 리뷰] Identifiability in Blind Deconvolution with Subspace or Sparsity Constraints

Yanjun Li, Kiryung Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 13.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 부분공간 또는 희소성 제약 조건 하에서 블라인드 디컨볼루션에 대한 최초의 대수적 표본 복잡도 경계를 확립하며, 일반적인 부분공간의 경우 $ n \geq m_1 m_2 $ 이고, 한 기저가 부분대역 구조를 가질 경우 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 일 때 스케일링을 제외한 유일한 복원이 가능하다고 증명한다. 희소성 제약 조건으로 확장할 경우, 알려지지 않은 지지 집합으로 인해 표본 복잡도에 추가로 2배의 요인이 있다.

ABSTRACT

Blind deconvolution (BD), the resolution of a signal and a filter given their convolution, arises in many applications. Without further constraints, BD is ill-posed. In practice, subspace or sparsity constraints have been imposed to reduce the search space, and have shown some empirical success. However, existing theoretical analysis on uniqueness in BD is rather limited. As an effort to address the still mysterious question, we derive sufficient conditions under which two vectors can be uniquely identified from their circular convolution, subject to subspace or sparsity constraints. These sufficient conditions provide the first algebraic sample complexities for BD. We first derive a sufficient condition that applies to almost all bases or frames. For blind deconvolution of vectors in $\mathbb{C}^n$, with two subspace constraints of dimensions $m_1$ and $m_2$, the required sample complexity is $n\geq m_1m_2$. Then we impose a sub-band structure on one basis, and derive a sufficient condition that involves a relaxed sample complexity $n\geq m_1+m_2-1$, which we show to be optimal. We present the extensions of these results to BD with sparsity constraints or mixed constraints, with the sparsity level replacing the subspace dimension. The cost for the unknown support in this case is an extra factor of 2 in the sample complexity.

연구 동기 및 목표

• 부분공간 또는 희소성 제약 조건 하에서 블라인드 디컨볼루션에 대한 이론적 유일성 보장의 부족을 해결하기 위해.
• 이러한 제약 조건 하에서 원형 컨볼루션으로부터 신호와 필터의 유일한 식별 조건을 도출하기 위해.
• 부분공간 및 희소성 제약 조건 블라인드 디컨볼루션에 모두 적용 가능한 날카롭고 타당한 대수적 표본 복잡도 경계를 설정하기 위해.
• 희소성 제약 조건 설정에서 알려지지 않은 지지 집합이 식별 가능성과 표본 복잡도에 미치는 영향을 분석하기 위해.

제안 방법

• 변환군 프레임워크를 사용하여 일반적인 부분공간 제약 조건 하에서 식별 가능성에 대한 충분조건을 유도한다.
• 한 기저가 부분대역 구조를 가질 경우, 완화된 표본 복잡도 경계 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 를 도입한다.
• 라이징 프레임워크를 적용하여 블라인드 디컨볼루션을 랭크-1 행렬 복원 문제로 재정의하여 식별 가능성 분석을 수행한다.
• 널공간 분석과 행렬 랭크 추론을 사용하여 유도된 조건 하에서 시스템 행렬이 전치열 랭크를 가짐을 증명한다.
• 희소성 제약 조건을 고려하기 위해 부분공간 차원을 희소성 수준으로 대체하고, 추가로 알려지지 않은 지지 집합을 반영하기 위해 2배의 요인을 포함한다.
• 선형 연산자의 영벡터가 영이 아닌 존재를 보여주기 위한 구성적 증명 전략을 활용하여 표본 복잡도가 부족할 경우 식별 불가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 신호와 필터가 모두 부분공간에 제약을 받을 때, 블라인드 디컨볼루션의 유일한 식별 조건은 무엇인가?
• RQ2 한 기저가 구조적 부분대역 형태를 가질 경우, 부분공간 제약 조건 하에서 블라인드 디컨볼루션의 표본 복잡도를 줄일 수 있는가?
• RQ3 희소 신호의 알려지지 않은 지지 집합이 식별 가능성에 필요한 표본 복잡도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 구조적 부분공간에 대해 유도된 표본 복잡도 경계 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 는 최적인가?
• RQ5 임의의 사전에서의 희소성은 블라인드 디컨볼루션의 식별 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 두 부분공간 제약 조건을 가진 블라인드 디컨볼루션의 경우, 차원이 각각 $ m_1 $ 과 $ m_2 $ 일 때 $ n \geq m_1 m_2 $ 를 만족하면 스케일링을 제외한 유일한 복원이 보장되며, 이는 거의 모든 기저 또는 프레임에 대해 충분한 조건이다.
• 한 기저가 부분대역 구조를 가질 경우, 필요한 표본 복잡도는 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 로 감소하며, 이 경계가 최적임이 증명된다.
• 희소성 제약 조건 블라인드 디컨볼루션의 경우 표본 복잡도는 $ n \geq 2(s_1 + s_2 - 1) $ 로, 알려지지 않은 지지 집합의 비용을 반영한다.
• $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 경계는 부분대역 구조 가정 하에서 필수적이고 최적임이 입증되었으며, 이를 충족하지 못할 경우 식별 불가능성이 발생한다.
• 논문은 $ n < m_1 + m_2 - 1 $ 일 경우, 심지어 지지 집합이 알려져 있더라도, 관련 선형 연산자에 영이 아닌 영벡터를 구성함으로써 식별 불가능성이 발생함을 증명한다.
• 희소성 제약 조건 복원에 대해 $ n \geq s_1 + m_2 - 1 $ 가 필수적임이 입증되었으며, 알려지지 않은 지지 집합은 알려진 지지 집합 대비 표본 복잡도를 2배로 증가시킨다.