[논문 리뷰] Identification of nonlinear controllers from data: theory and computation

Lorenzo Fagiano, Carlo Novara|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 06.

Control Systems and Identification참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 폐쇄 루프 시스템에서 실험 측정치로부터 비선형 컨트롤러를 식별하기 위한 데이터 기반 방법을 제시한다. 이는 리프시츠 연속성과 세트 기반 최적화를 활용한다. 주요 기여는 유한한 데이터에서 컨트롤러의 비선형 함수와 안정성 특성에 대해 증명 가능하게 수렴하는 알고리즘을 제안하는 것으로, 유한한 영향 $\sigma$-안정성을 확보한다.

ABSTRACT

This manuscript contains technical details and proofs of recent results developed by the authors, pertaining to the design of nonlinear controllers from the experimental data measured on an existing feedback control system.

연구 동기 및 목표

• 식별할 수 없는 비선형 컨트롤러를 폐쇄 루프 시스템에서 실험 데이터로부터 식별하는 데 도전하는 것.
• 입력, 출력 및 외란에 대해 유한한 집합과 유계 외란 하에서 식별 문제를 수학적으로 정식화하는 것.
• 리프시츠 연속성 가정을 통해 유한한 영향 $\sigma$-안정성을 유지하는 식별된 컨트롤러를 보장하는 것.
• 유한한 데이터에서 컨트롤러 함수와 안정성 여유를 추정할 수 있는 계산적으로 실현 가능한 알고리즘을 개발하는 것.
• 증가하는 데이터 크기 하에서 추정된 컨트롤러와 그 리프시츠 상수에 대한 이론적 수렴 보장을 제공하는 것.

제안 방법

• 폐쇄 루프 시스템을 이산 시간 비선형 동적 시스템으로 모델링하며, 입력 $e_s$, 출력 $y$, 컨트롤러 $u = \kappa(y)$로 구성되며, $\kappa$는 정적 비선형 함수이다.
• 시스템 동역학 $f$와 컨트롤러 $\kappa$의 리프시츠 연속성을 압축된 집합에서 가정하여 안정성과 유계성을 확보한다.
• 예측된 출력과 측정된 출력 간 최악의 오차를 최소화하는 세트 기반 최적화 프레임워크를 사용하여 컨트롤러 $\kappa$를 추정한다.
• 유한한 데이터 샘플에서 컨트롤러의 리프시츠 상수 $\hat{\gamma}_{\kappa}$를 계산하는 데이터 기반 추정기 도입.
• 두 단계 알고리즘 적용: 첫째, 데이터에서 간섭 범위 $\varepsilon$를 추정; 둘째, 데이터 쌍에 대한 최대-최소 최적화를 통해 컨트롤러 추정치 $\hat{\kappa}$ 계산.
• 유연한 정규성 조건 하에서 데이터 크기 $N \to \infty$일 때 추정된 컨트롤러와 그 리프시츠 상수가 진짜 값으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 식물과 컨트롤러가 모두 알려지지 않은 상태에서 실험 데이터로부터 비선형 컨트롤러를 정확히 식별할 수 있는가?
• RQ2 유계 외란과 측정 노이즈 하에서 식별된 컨트롤러의 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유한한 데이터에서 알려지지 않은 컨트롤러의 리프시츠 상수를 이론적 수렴 보장과 함께 추정할 수 있는가?
• RQ4 데이터 크기와 컨트롤러 식별 정확도 및 안정성 여유 추정 정확도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 식별 방법이 측정된 입력-출력 데이터만을 사용하여 폐쇄 루프 시스템의 유한한 영향 $\ell_\infty$ 안정성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 주어진 가정 하에 데이터 샘플 수 $N \to \infty$일 때 추정된 컨트롤러 $\hat{\kappa}$가 진짜 컨트롤러 $\kappa$로 수렴함을 보장한다.
• 컨트롤러의 추정 리프시츠 상수 $\hat{\gamma}_{\kappa}$는 진짜 $\gamma_{\kappa}$로 수렴하며, $N \to \infty$일 때 거의 확실하게 $\hat{\gamma}_{\kappa} \to \gamma_{\kappa}$가 된다.
• 폐쇄 루프 시스템의 유한한 영향 $\ell_\infty$ 안정성이 보장되며, 이는 추정된 $\hat{\gamma}_{g,y} < 1$일 경우이며, $\gamma_{g,y}$는 폐쇄 루프 맵 $g$의 리프시츠 상수이다.
• 간섭 범위 $\varepsilon$는 데이터 증가에 따라 일致적으로 추정되며, $\hat{\varepsilon} \to \varepsilon$가 되어 모델링되지 않은 동역학과 노이즈에 대한 강건성을 확보한다.
• 알고리즘은 데이터 조밀도와 $f$, $\kappa$의 리프시츠 성질에 따라 컨트롤러 추정치의 수렴 속도를 확보한다.
• 이론적 분석을 통해 추정된 컨트롤러가 $\gamma_{\mathfrak{f}} \leq \hat{\gamma}$를 만족함을 증명하여, 추정된 리프시츠 상수가 과소 평가되지 않음을 보장한다.