[논문 리뷰] Identifying the covariation between the diffusion parts and the co-jumps given discrete observations

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|ArXiv.org|2006. 10. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이산적이고 가능성이 비동기적인 관측치를 사용하여 두 반마르팅글 프로세스의 공통 점프와 확산 성분의 통합공분산(IC)을 분리하기 위해 임계값 기반 추정기(_estimator)를 제안한다. 관측 간격 h에 따라 변화하는 데이터 기반의 임계값 함수 r(h)를 사용해 증분을 잘라내어, IC와 공통 점프를 일관되게 추정하며, 유한 활동도 점프의 경우 점근적으로 정규분포를 따르고, 마이크로구조 노이즈와 비동기성에 대해 강건함을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper we consider two semimartingales driven by diffusions and jumps. We allow both for finite activity and for infinite activity jump components. Given discrete observations we disentangle the {\it integrated covariation} (the covariation between the two diffusion parts, indicated by IC) from the co-jumps. This has important applications to multiple assets price modeling for forecasting, option pricing, risk and credit risk management. An approach commonly used to estimate IC is to take the sum of the cross products of the two processes increments; however this estimator can be highly biased in the presence of jumps, since it approaches the quadratic ovariation, which contains also the co-jumps. Our estimator of IC is based on a threshold (or truncation) technique. We prove that the estimator is consistent in both cases as the number of observations increases to infinity. Further, in presence of only finite activity jumps 1) \hat{IC} is also asymptotically Gaussian; 2) a joint CLT for \hat{IC} and threshold estimators of the integrated variances of the single processes allows to reach consistent and asymptotically Gaussian estimators even of the $β$s and of the correlation coefficient among the diffusion parts of the two processes, allowing a better measurement of their dependence; 3) thresholding gives an estimate of IC which is robust to the asynchronicity of the observations. We conduct a simulation study to check that the application of our technique is in fact informative for values of the step between the observations large enough to avoid the typical problems arising in presence of microstructure noises in the data, and to asses the choice of the threshold parameters.

연구 동기 및 목표

• 고빈도 금융 데이터에서 공통 점프로 인해 발생하는 표준 이차공분산 추정기의 편향 문제를 해결하기 위해.
• 관측치가 이산적이고 가능성이 비동기적일 때 확산 성분 간의 통합공분산(IC)에 대한 일관된 추정기를 개발하기 위해.
• 신용 리스크 모델링에서 파산 의존성과 전염 현상을 분석하는 데 핵심적인 공통 점프와 그 기여도를 별도로 추정하기 위해.
• 유한 활동도 점프 조건 하에서 확산 성분의 상관계수 및 회귀계수에 대한 점근적으로 가우시안인 추정기를 구축하기 위해.
• 비동기 관측에 대응하기 위해 임계값 추정기를 수정함으로써 마이크로구조 노이즈와 비동기성에 대해 강건성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 임계값 추정기 제안: $\hat{IC}_{T,n} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $, 여기서 $ r(h) $는 샘플링 주파수 $ h = T/n $ 에 따라 달라지는 임계값 함수이다.
• 증분이 임계값 이하인 경우를 선별하는 임계값 기준을 적용하여, 큰 점프는 효과적으로 제거하고 유일하게 확산에 의해 유도된 움직임만 유지한다.
• 이중 프로세스에 대해 임계값 기법을 적용하여 IC와 공통 점프를 동시에 추정하며, 점프가 높은 확률로 임계값을 초과한다는 사실을 활용한다.
• 유한 활동도 점프의 경우, $ \hat{IC}_{T,n} $ 와 통합분산 추정기 $ \hat{IV}_T^{(q)} $ 의 공동 중심극한정리(CLT)를 도출하여 상관계수 및 회귀계수에 대한 추론이 가능하도록 한다.
• 비동기 관측을 다루기 위해 [13] 및 [12]의 기법을 응용하여 추정기를 수정함으로써 일관성을 유지한다.
• 모델 1(스토크라틱 볼래일리티와 유한 활동도 점프 포함), 모델 2(일정 볼래일리티와 무한 활동도 점프 포함)의 두 가지 시뮬레이션 모델을 활용하여 성능을 검증하고 최적의 임계값을 선정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 관측치 하에서 유한 활동도와 무한 활동도 점프가 동시에 존재할 경우, 확산 성분 간의 통합공분산을 어떻게 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ2 비동기성과 마이크로구조 노이즈 조건 하에서도 임계값 기반 추정기가 공통 점프와 확산 공분산을 효과적으로 분리할 수 있는가?
• RQ3 유한 활동도 점프 가정 하에서 IC에 대한 임계값 추정기의 점근적 분포는 무엇이며, 상관계수 및 회귀계수 추론에 활용 가능한가?
• RQ4 유한 활동도 대비 무한 활동도 점프 활동도에 따라 추정기 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 실제 고빈도 금융 데이터 환경에서 IC와 공통 점프 추정 정확도를 최적화하기 위한 최적의 임계값 선택 기준은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 관측치가 비동기적일지라도 $ n \to \infty $ 일 때, 유한 활동도 및 무한 활동도 점프 상황 모두에서 $ \hat{IC}_{T,n} $ 는 $ IC_T $ 에 대해 일관되다.
• 유한 활동도 점프의 경우, $ \hat{IC}_{T,n} $ 는 수렴 속도 $ \sqrt{h} $ 를 갖는 점근적으로 정규분포를 따르며, [2]의 결과를 점프-확산 모델로 확장한다.
• 공동 중심극한정리(CLT)를 통해 상관계수 및 확산 성분 간 회귀계수 $ \beta $ 의 일관되고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정이 가능하다.
• 모델 1(유한 활동도 점프) 하에서 공통 점프 합의 추정기는 매우 정확하며, 시뮬레이션 연구에서 상대 편향이 1% 미만이다.
• 모델 2(무한 활동도 점프) 하에서 공통 점프 추정기는 여전히 강건하며, 평균 퍼센티지 오차는 1% 이하이고 표준편차가 낮다. 이와 동시에 $ \hat{IC}_{T,n} $ 는 정규화된 편향을 보이며 가우시안 행동을 나타낸다.
• 모델 1에서는 추정기 (5)가 공통 점프 추정에 가장 유용하며, 모델 2에서는 추정기 (6)이 가장 유용하다. 세 추정기 모두 두 모델 전반에 걸쳐 뛰어난 성능을 보였다.