[논문 리뷰] Identities and relations related to the numbers of special words derived from special series with Dirichlet convolution

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 25.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 16인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 디리클레 컨volution을 사용하여 디리클레 급수, 라마르탱 급수, 제타 함수와 관련된 항등식을 도출하기 위해 새로운 수론적 함수를 도입한다. 이 함수들에는 목걸이 다항식과 리븐드 단어 수가 포함된다. 주요 결과로는 베르누이 수 및 아포스톨-베르누이 수와의 명시적 공식 연결이 있으며, 아이젠슈타인 급수의 푸리에 전개와의 연결을 통해 수론과 특수함수 분야에서 새로운 해석적 관계를 수립한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to define some new number-theoretic functions including necklaces polynomials and the numbers of special words such as Lyndon words. By using Dirichlet convolution formula with well-known number-theoretic functions, we derive some new identities and relations associated with Dirichlet series, Lambert series, and also the family of zeta functions including the Riemann zeta functions and polylogarithm functions. By using analytic (meromorphic) continuation of zeta functions, we also derive identities and formulas including Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli numbers. Moreover, we give relations between number-theoretic functions and the Fourier expansion of the Eisenstein series. Finally, we give some observations and remarks on these functions.

연구 동기 및 목표

• 조합론적 수론을 사용하여 목걸이 다항식과 리븐드 단어 수와 같은 새로운 수론적 함수를 정의한다.
• 디리클레 컨볼루션을 통해 디리클레 급수, 라마르탱 급수, 제타 함수를 연결하는 새로운 항등식을 유도한다.
• 제타 함수의 해석적 계속을 통해 이를 베르누이 수 및 아포스톨-베르누이 수와 연결한다.
• 수론적 함수와 아이젠슈타인 급수의 푸리에 전개 사이의 연결 고리를 수립한다.
• 특수 단어 수와 다이로그함수, 제타 함수와 같은 특수함수를 연결하는 명시적 공식을 제공한다.

제안 방법

• 수론적 함수를 사용하여 목걸이 다항식 $ N_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \phi(n/d) k^d $ 과 리븐드 단어 수 $ L_k(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu(n/d) k^d $ 를 정의한다.
• 생성함수를 연결하고 급수 항등식을 도출하기 위해 디리클레 컨볼루션 $ (f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d) $ 을 적용한다.
• 디리클레 급수 $ F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} $ 과 라마르탱 급수 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{x^n - 1} $ 를 사용하여 함수적 관계를 도출한다.
• 제타 함수의 해석적 계속을 활용하여 항등식을 음의 정수로 확장하고, 이를 베르누이 수와 연결한다.
• 아이젠슈타인 급수 $ G(z,k,r,h) $ 의 푸리에 전개를 리븐드 단어 수를 포함하는 라마르탱 급수와 연결하여 모듈라 유형의 항등식을 도출한다.
• 급수 분해와 컨볼루션을 통해 새로운 제타 유형 함수 $ \zeta_2(x:k,s) $, $ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $, 및 $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디리클레 컨볼루션을 어떻게 사용하여 목걸이 및 리븐드 단어 수를 제타 급수와 라마르탱 급수에 연결하는 새로운 항등식을 유도할 수 있는가?
• RQ2 리븐드 단어 수에서 유도된 제타 유형 함수의 해석적 계속은 무엇이며, 이를 베르누이 수 및 아포스톨-베르누이 수와 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ3 아이젠슈타인 급수의 푸리에 전개와 리븐드 단어 수를 포함하는 라마르탱 급수 사이에 어떤 연결 고리가 존재하는가?
• RQ4 새로운 제타 함수 $ \zeta_2(x:k,s) $, $ \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $, 및 $ \zeta_{1,\text{even}}(x:k,s) $ 는 어떻게 분해되며, 기존의 특수함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특수 단어의 생성함수는 디리클레 컨볼루션과 급수 변환을 통해 모듈라 형식과 L-함수와 체계적으로 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 항등식 $ \zeta_2(x:k,-m) = -\frac{B_m B_{m+1}(kx)}{m B_{m+1}} $ 를 도출하여 음의 제타 값과 베르누이 다항식 및 수를 연결한다.
• 논문은 $ 2^s \zeta(s) \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) = (2^s - 1) \zeta(s-1) \left( \text{Li}_s(kx) - \frac{1}{2^s} \text{Li}_s(k^2 x^2) \right) $ 를 확립하여 홀수 인덱스 제타 함수를 다이로그함수와 연결한다.
• 항등식 $ \zeta_{2,\text{even}}(x:k,s) = \zeta_2(x:k,s) - \zeta_{2,\text{odd}}(x:k,s) $ 는 전체 제타 함수를 짝수 및 홀수 부분으로 분해하는 데 기여한다.
• 논문은 $ \zeta_1,\text{even}(x:k,-m) = \frac{2^m B_m \left( B_{m+1}(kx) - (2^m - 1) B_{m+1}(k^2 x^2) \right)}{m B_{m+1}} $ 를 증명하여 짝수 인덱스 값에 대한 닫힌 형식을 제공한다.
• 라마르탱 급수 $ H(n, e^{2\pi i z}) $ 와 아이젠슈타인 급수 사이의 연결 고리가 $ H(n, e^{2\pi i z}) = \sum_{d|n} \mu(n/d) \frac{d!}{2(-2\pi i)^{d+1}} \left( G(z,d+1,0,h) - 2Z(d+1,h) \right) $ 를 통해 수립된다.
• 소수 $ p $ 에 대해 논문은 $ H(p, e^{2\pi i z}) = \frac{p!}{2(-2\pi i)^{p+1}} \left( G(z,p+1,0,h) - 2Z(p+1,h) \right) + \frac{G(z,2,0,h) - 2Z(2,h)}{8\pi^2} $ 를 도출하여 소수 리븐드 단어 수를 모듈라 형식과 연결한다.