[논문 리뷰] Identities Involving Zeros of Ramanujan and Shanks Cubic Polynomials

Stefano Barbero, Umberto Cerruti외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라마누잔 세차다항식(RCPs)과 샤크스 세차다항식(SCPs) 사이의 깊은 연결고리를 확립하며, SCPs를 통해 RCPs의 근을 명시적인 삼각함수 표현으로 제시한다. RCPs의 근이 세 차수의 유리변환에 의해 순환적으로 치환됨을 증명하고,余弦 거듭제곱과 정수수열을 포함한 새로운 항등식을 도출하며, OEIS의 수열 A198636에 대한 L. E. 제퍼리의 추측을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we highlight the connection between Ramanujan cubic polynomials (RCPs) and a class of polynomials, the Shanks cubic polynomials (SCPs), which generate cyclic cubic fields. In this way we provide a new characterization for RCPs and we express the zeros of any RCP in explicit form, using trigonometric functions. Moreover, we observe that a cyclic transform of period three permutes these zeros. As a consequence of these results we provide many new and beautiful identities. Finally we connect RCPs to Gaussian periods, finding a new identity, and we study some integer sequences related to SCPs .

연구 동기 및 목표

• 라마누잔 세차다항식(RCPs)을 샤크스 세차다항식(SCPs)과의 연결을 통해 새로운 특성으로 규명하는 것.
• SCP의 근을 이용해 RCP의 근에 대해 명시적인 삼각함수 표현을 도출하는 것.
• RCP의 근이 세 차수의 유리변환에 의해 순환적으로 치환됨을 보여주는 것.
• OEIS의 수열 A198636에 대한 L. E. 제퍼리의 선형 재귀에 관한 추측을 증명하는 것.
• RCPs, 가우스 주기, 그리고 SCPs로부터 유도된 정수수열 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 실수 매개변수 $ h $와 $ s \neq 0 $를 사용해 RCPs를 매개변수화하여 $ \rho(h,s,x) = x^3 + h s x^2 - (h+3)s^2 x + s^3 $ 로 표현하는 것.
• 비에타의 치환과 복소근 분석을 활용해 SCPs $ \rho(h,-1,x) $의 근에 대한 삼각함수 표현을 유도하며, 아 tangent 및余 cosine 함수를 포함하는 것.
• 유리변환 $ \eta_s(z) = \frac{s^2}{s - z} $ 를 정의하여, 임의의 RCP의 세 근이 이 변환에 의해 순환적으로 치환됨을 보이는 것.
• 동반행렬 방법을 적용하여 SCP의 근의 거듭제곱 합이 선형 재귀 정수수열을 이룸을 보이는 것.
• 체비셰프 다항식의 고유값과 추적 항등식을 활용하여 경로 그래프 위의 닫힌 산책과余 cosine 거듭제곱 합을 연결하는 것.
• 기존의 가우스 주기 및 원분체 이론 결과를 활용하여 RCPs와 가우스 주기 간의 새로운 항등식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라마누잔 세차다항식(RCPs)과 샤크스 세차다항식(SCPs)은 어떻게 관련되어 있으며, 이러한 관계를 통해 RCPs의 새로운 특성화가 가능할까?
• RQ2 임의의 RCP의 근은 SCP의 근을 이용해 명시적인 삼각함수 함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 유리변환 $ \eta_s(z) = \frac{s^2}{s - z} $ 에서 RCP의 근이 순환적으로 치환되는 배경에 있는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 OEIS의 수열 A198636은 선형 재귀 수열인가, 그리고 L. E. 제퍼리의 추측을 만족하는가?
• RQ5 RCPs, SCPs, 가우스 주기, 그리고余 cosine 거듭제곱 합 간의 상호작용에서 새로운 항등식은 무엇이 도출되는가?

주요 결과

• 임의의 라마누잔 세차다항식 $ \rho(h,s,x) $ 의 근은 $ \left\{ \alpha, \frac{s^2}{s - \alpha}, -\frac{s(s - \alpha)}{\alpha} \right\} $ 로 명시적으로 주어지며, 이는 변환 $ \eta_s(z) $ 에서 순환 궤도를 이룬다.
• SCPs $ \rho(h,-1,x) $ 의 근은 $ \frac{1}{3}\left(h \pm 2\sqrt{\tau(h)}\cos\left(\frac{1}{3}\left(\arctan\left(\frac{3\sqrt{3}}{3+2h}\right) + k\pi\right)\right)\right) $ 로 표현되며, $ \tau(h) = h^2 + 3h + 9 $, $ k = 0,2,4 $ 이다.
• OEIS의 수열 A198636는 선형 재귀를 따르며, 재귀식 $ A_{n+3} = 5A_{n+2} - 6A_{n+1} + A_n $ 를 만족하며, $ A_n = 2^{2n}\left(\cos^{2n}\left(\frac{\pi}{7}\right) + \cos^{2n}\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos^{2n}\left(\frac{3\pi}{7}\right)\right) $ 라는 표현을 가짐을 증명하였다.
• SCP의 동반행렬의 거듭제곱의 추적을 통해 RCPs와 가우스 주기 간의 새로운 항등식을 발견하였다.
• 근 $ \alpha, \beta, \gamma $ 가 $ \rho(h,-1,x) $ 의 근인 경우, 거듭제곱 합 $ A(k,n) = \alpha^{kn} + \beta^{kn} + \gamma^{kn} $ 는 특성다항식 $ x^3 - A(k,1)x^2 + B(k,1)x - 1 $ 을 가진 선형 재귀 수열을 이룬다.
• 특히 $ h = -1 $ 일 때, 근은 $ 2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right), 2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right), 2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) $ 이며, 수열 $ A(2,n) $ 는 A198636과 일치하여 제퍼리의 추측을 확인한다.