[논문 리뷰] If Archimedes would have known functions

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 24.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 함수, 도함수, 적분을 연속적 미적분의 조합적 유사체로 간주하는 그래프 위의 이산 미적분을 제안한다. 도함수를 차분 연산자로 모델링하고 적분을 경로에 대한 합으로 간주함으로써, 이산 기본 미적분 정리가 수립되며, 미분형식과 딜라크 연산자를 사용하여 다변수 설정으로 확장된다. 이 과정에서 양자역학적 및 파동 방정식이 그래프 이론적 구조에서 자연스럽게 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

These are notes and slides from a Pecha-Kucha talk given on March 6, 2013. The presentation tinkered with the question whether calculus on graphs could have emerged by the time of Archimedes, if the concept of a function would have been available 2300 years ago. The text first attempts to boil down discrete single and multivariable calculus to one page each, then presents the slides with additional remarks and finally includes 40 "calculus problems" in a discrete or so-called 'quantum calculus' setting. We also added some sample Mathematica code, gave a short overview over the emergence of the function concept in calculus and included comments on the development of calculus textbooks over time.

연구 동기 및 목표

• 함수, 그래프 이론, 행렬 대수학이 알려져 있었다면 아르키메데스 시대에 그래프 위의 미적분이 도출되었을 수 있는가를 탐색하기 위해.
• 함수를 정점과 간선에 정의된 이산 연산자로 사용하여 단일 변수 및 다변수 미적분을 재구성하기 위해.
• 차분과 합 연산자를 사용하여 이산 기본 미적분 정리의 이산 유사체를 수립하기 위해.
• 이중형식, 외부 미적분, 그래프 위의 미분방정식까지의 프레임워크를 확장하기 위해.
• 스chrödinger 방정식과 파동 방정식과 같은 핵심 개념이 이산 경로 적분과 그래프 위의 행렬 연산자로부터 자연스럽게 유도되는가를 보여주기 위해.

제안 방법

• 도함수를 차분 연산자 $ Df(x) = f(x+1) - f(x) $로 정의하고, 적분을 누적 합 $ Sf(x) = \sum_{k=0}^{x-1} f(k) $로 정의하며, $ Sf(0) = 0 $ 으로 둔다.
• 이산 도함수의 대수적 다루기 쉬운 표현을 위해 이동 연산자 $ s $ 와 $ s^* $ 를 사용하여 $ Df = [s, f] $ 로 표현한다.
• 단항식 $ [x]^n = X^n x $ 를 도입하여, $ D[x]^n = n[x]^{n-1} $ 이 성립함을 보이며, 연속적 미적분의 거듭제곱 법칙과 유사함을 보인다.
• 지수, 삼각, 로그 함수를 $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ 로 정의하고, 이들의 이산 도함수와 항등식을 유도한다.
• 단체 복합체로 구성된 그래프 $ G $ 에서 $ k $-형식을 정의하고, 외부 도함수 $ d $ 를 도입하며, 부분그래프 위의 적분을 정의한다.
• 딜라크 연산자 $ D = d + d^* $ 와 형식 라플라스 연산자 $ L = dd^* + d^*d $ 를 사용하여, 경로 적분 해를 통해 슈뢰딩거 방정식과 파동 방정식을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수, 그래프 이론, 행렬 대수학이 알려져 있었다면 아르키메데스 시대에 이러한 개념 기반의 이산 미적분이 개발되었을까?
• RQ2 정수 위의 차분과 합 연산자를 사용하여 이산적 환경에서 기본 미적분 정리가 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ3 그래프 기반의 미적분에서 지수, 삼각, 로그 함수의 이산 유사체는 무엇인가?
• RQ4 스토크스 및 가우스 정리와 같은 다변수 미적분이 그래프 위의 이산 미분형식으로부터 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ5 양자 및 파동 방정식은 그래프 위의 이산 경로 적분으로 해석될 수 있으며, 매트릭스 지수함수를 통해 고전적 해로 축소되는가?

주요 결과

• 이산 기본 미적분 정리가 성립한다: $ DSf(x) = f(x) $ 와 $ SDf(x) = f(x) - f(0) $ 이며, 이는 차분과 합 연산자의 상호보완성을 검증한다.
• 단항식 $ [x]^n $ 은 $ D[x]^n = n[x]^{n-1} $ 을 만족하며, 연속적 거듭제곱 법칙과 유사하다.
• 이산 지수함수 $ \exp(a\cdot x) = (1+a)^x $ 는 $ D\exp(a\cdot x) = a\exp(a\cdot x) $ 를 만족하며, $ \exp(ia\cdot x) $ 를 통해 이산 sin과 cos를 정의한다.
• 슈뢰딩거 방정식 $ f' = iDf $ 는 $ f(t) = e^{itD}f(0) $ 로 해를 구할 수 있으며, 이는 길이 $ n $ 의 모든 경로에 대한 합으로 표현되며, 파인만-카크 공식을 일반화한다.
• 파동 방정식 $ f'' = -Lf $ 는 $ f(t) = \cos(Dt)f(0) + \sin(Dt)D^{-1}f'(0) $ 로 해를 구할 수 있으며, 이는 해가 매트릭스 지수함수를 통해 전파됨을 보여준다.
• 이산 스토크스 및 가우스 정리는 각각 $ \int_S dF = \int_{\partial S} F $ 와 $ \int_H dF = \int_{\partial H} F $ 로 성립하며, 이는 그래프 위에 정의된 표면과 입체에서 성립한다.