[논문 리뷰] Ill-posedness for nonlinear Schrodinger and wave equations

Michael Christ, J. Colliander외 1명|ArXiv.org|2003. 11. 04.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 17인용 수 116

한 줄 요약

이 논문은 스케일링 또는 갈릴레오 불변량에 의해 예측된 임계 임계값 이하의 정(regularity) $s$ 에서 소볼레프 공간 $H^s$ 에서 비선형 슈뢰딩거 및 웨이브 방정식에 대해 부정확성(ill-posedness)을 확립한다. 영산성 분산 근사와 평균값이 0이고 고주파 성분을 지닌 특정 진동성 초기 자료를 사용하여, 해의 노름 폭발(norm inflation)과 해 사상의 균일 연속성 실패를 입증함으로써, $s < s_c$ 또는 $s < 0$ 인 경우에 부정확성을 증명한다. 특히 솔리톤 또는 폭발 예제가 존재하지 않는 비집중형 케이스에서 이는 성립한다.

ABSTRACT

The nonlinear wave and Schrodinger equations on Euclidean space of any dimension, with general power nonlinearity and with both the focusing and defocusing signs, are proved to be ill-posed in the Sobolev space of index s whenever the exponent s is lower than that predicted by scaling or Galilean invariances, or when the regularity is too low to support distributional solutions. This extends previous work of the authors, which treated the one-dimensional cubic nonlinear Schrodinger equation. In the defocusing case soliton or blowup examples are unavailable, and a proof of ill-posedness requires the construction of other solutions. In earlier work this was achieved using certain long-time asymptotic behavior which occurs only for low power nonlinearities. Here we analyze instead a class of solutions for which the zero-dispersion limit provides a good approximation.

연구 동기 및 목표

• 스케일링 임계 정규성 이하의 $s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ 또는 $s=0$ 이하에서 $H^s$ 공간에서 일반화된 비선형 슈뢰딩거(gNLS) 및 비선형 웨이브(gNLW) 방정식의 부정확성을 확립하는 것.
• 솔리톤 또는 폭발 해가 존재하지 않는 비집중형 케이스를 다루기 위해, 노름 폭발을 보이는 대체 해를 구성하는 것.
• 이전의 삼차 1차원 NLS에 대한 부정확성 결과를 일반 거듭제곱 비선형성 및 고차원으로 확장하기 위해 영산성 분산 근사 기반의 새로운 방법을 사용하는 것.
• 해 사상의 균일 연속성 실패를 입증하여, $s < s_c$ 또는 $s < 0$ 인 경우에 Cauchy 문제의 $H^s$ 에서의 부정확성을 의미하는 것. 이는 $s_c \geq 0$ 이더라도 성립한다.

제안 방법

• 주기적이고 평균값이 0이며 고주파 성분을 지닌 $\phi$ 를 사용하여, $\delta \ll 1$, $N \gg 1$, $\psi$ 는 매끄러운 커파트 함수인 초기 자료 $u_0(x) = \delta \phi(Nx)\psi(x)$ 를 구성한다.
• 영산성 분산 근사를 사용하여 비선형 방정식의 해를 근사하며, 이 근사에서 선형화된 시스템이 이론적으로 운반 방정식과 유사하게 행동함을 활용한다.
• 두하멜의 공식을 통해 해의 반복을 분석하여, 비선형성과 진동 성분의 상호작용으로 인해 $t=1$ 에서 첫 번째 비선형 보정 $u^{(1)}$ 이 0이 아닌 기여를 보임을 보인다.
• 고주파 성분에서 해의 푸리에 변환의 $L^2$-노름을 추정하여, $\|\widehat{u^{(1)}}(1)\|_{L^2(B_a^A)} \gtrsim \delta^{2p}$ 임을 보이고, 선형 부분은 $O(\delta N^{-1})$ 이므로, $N$ 이 클수록 노름 폭발이 발생함을 밝힌다.
• 유한 속도 전파성과 초기 자료의 곱 구조를 이용하여 1차원 결과를 $d \geq 2$ 차원으로 확장하며, 노름 폭발 행동을 유지한다.
• 국소 잘 정의된 이론을 적용하여 진짜 해를 첫 번째 반복으로 근사함으로써, 초기 자료의 소규모 변화에 대해 노름 폭발이 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스케일링 임계 정규성 이하 또는 $s < 0$ 인 경우, 비집중형 케이스에서도 비선형 슈뢰딩거 방정식이 $H^s$ 에서 국소 잘 정의되지 않는가?
• RQ2 솔리톤 또는 폭발 해가 존재하지 않는 비집중형 케이스에서, 대체 해 구성법을 통해 부정확성을 입증할 수 있는가?
• RQ3 표준 예제가 없는 비선형 분산 방정식에서 영산성 분산 근사가 부정확성을 증명하는 데 유용한가?
• RQ4 평균값이 0이고 고주파 성분을 지닌 진동성 초기 자료가 $s < s_c$ 인 경우에 노름 폭발을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 해 사상의 균일 연속성 실패가 고주파 성분에서 $L^2$-노름 폭발 형태로 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 일반화된 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, $s < s_c = \frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}$ 또는 $s < 0$ 인 경우에 $H^s$ 에서 부정확성이 성립한다. 이는 비집중형 케이스에서도 성립한다.
• 일반화된 비선형 웨이브 방정식에 대해, $s < \max(s_c, s_{\text{conf}})$ 인 경우에 부정확성이 발생하며, 여기서 $s_{\text{conf}} = \frac{d+1}{4} - \frac{1}{p-1}$ 이다. 동일한 정규성 조건 하에서 성립한다.
• 노름 폭발이 발생한다: 초기 자료의 크기가 $\|u_0\|_{H^s} \lesssim \delta N^s$ 인 경우, 시간 $t=1$ 에서 해는 $\|u(1)\|_{H^s} \gtrsim \delta^{2p}$ 를 만족하며, $p > 1$ 이고 $\delta \to 0$, $N \to \infty$ 일 때 초기 자료 크기 대비 해의 크기가 폭발한다.
• $H^s$ 에서 해 사상이 균일 연속적이지 않음을 입증한다. 비선형 보정 $u^{(1)}$ 이 $\delta^p$ 만큼 증가하는 반면 선형 부분은 $\delta N^{-1}$ 만큼 감소하므로, $N \to \infty$ 일 때 비율이 발산한다.
• 영산성 분산 근사와 평균값이 0이며 고주파 성분을 지닌 진동성 초기 자료를 기반으로 한 방법은, 솔리톤 또는 폭발 해가 존재하지 않는 경우에도 비선형 분산 방정식의 부정확성을 입증하는 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 유한 속도 전파성과 형태 $\eta(x')f(x_d)$ 의 곱형 초기 자료를 통해, 이 결과는 $d \geq 2$ 차원으로 확장되며, $f$ 는 $\mathbb{R}^1$ 에서 노름 폭발을 유도하도록 선택된다.