[논문 리뷰] Ill-posedness of the incompressible Euler equations in the $C^1$ space

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 08.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 옐러르 방정식이 $C^1$ 공간에서 국소적으로 악성 불안정하다는 것을 증명한다. 이는 $W^{1,p}$에 속하는 초기 비타시티 데이터의 수열을 구성함으로써 $C^1$ 노름에서 노름 폭발을 유도한다. 라그랑주 변형 기법과 $W^{1,p}$에서의 케이토-폰스 잘 정의된 결과에 대한 모순을 이용하여, 데이터에서 해로의 사상이 $C^1$에서 연속일 수 없음을 보이며, 이는 고전적 정규성 계열에서의 악성 불안정성을 확립한다.

ABSTRACT

We prove that the 2D Euler equations are not locally well-posed in $C^1$. Our approach relies on the technique of Lagrangian deformations and norm inflation of Bourgain and Li. We show that the assumption that the data-to-solution map is continuous in $C^1$ leads to a contradiction with a well-posedness result in $W^{1,p}$ of Kato and Ponce.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비압축성 옐러르 방정식의 국소 잘 정의된 문제에 대해 고전적 $C^1$ 공간에서의 해결.
• 데이터에서 해로의 사상이 $C^1$에서 연속이 아님을 보여주어 이 공간에서의 악성 불안정성을 암시.
• 노름 폭발 및 라그랑주 변형 기법의 프레임워크를 이전에 해결되지 않은 $C^1$ 끝점 정규성 공간으로 확장.
• $C^1$에서 잘 정의된 것으로 가정할 경우, $W^{1,p}$에서의 케이토-폰스 잘 정의된 결과와의 모순을 수립.

제안 방법

• 원점에서 정지점이 있고 기함수 대칭성을 지닌 컴actsupport를 가진 초기 비타시티 $\omega_0 \in C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$를 구성하여 라그랑주 흐름에서 큰 변형 기울기를 유도.
• $2 < p < \infty$에서 $\omega_{0,n} = \omega_0 + \beta_n$가 $W^{1,p}$에 속하고 조절된 진동 구조를 가지도록 편미분 $\beta_n$을 정의.
• 비에이트-사바르 법칙을 사용하여 속도장 $u_n = \nabla^\perp \Delta^{-1} \omega_n$를 복원하고, 이에 대응하는 체적 보존 흐름 $\eta_n(t)$를 정의.
• 비교 보조정리 8을 적용하여 흐름 $\eta_n(t)$와 $\eta(t)$ 사이의 차이를 유계로 제한하고, 데이터에서 해로의 사상이 $C^1$에서 연속이라는 가정 하에 $\|D\eta_n - D\eta\|_{\infty} \to 0$임을 보임.
• 흐름 하에서의 변수 변화를 이용하여 $\omega_n(t)$의 $W^{1,p}$ 노름을 추정하고, 체적 보존 미분형사에 의한 $L^p$ 노름의 불변성을 활용.
• 보조정리 10의 진동 추정을 이용하여 $\|d\beta_n(\nabla^\perp \eta_2(t_0))\|_{L^p}$에 하한을 도출하여, 큰 $n$에 대해 $M$ 정도로 증가함을 보이며, 나머지 항들은 $\theta_n \to 0$로 제어됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비압축성 옐러르 방정식의 코시 문제는 $C^1$ 공간에서 국소적으로 잘 정의되어 있는가?
• RQ2 부드러운 초기 데이터가 있더라도 옐러르 방정식의 해에서 $C^1$ 노름에서 노름 폭발이 발생할 수 있는가?
• RQ3 데이터에서 해로의 사상이 $C^1$에서 연속이라는 가정은 $W^{1,p}$ 공간에서 알려진 잘 정의된 결과와 모순되는가?
• RQ4 라그랑주 변형 기법을 $C^1$과 같은 끝점 정규성 공간에서의 악성 불안정성 증명으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 비압축성 옐러르 방정식은 $C^1(\mathbb{R}^2)$에서 국소적으로 악성 불안정하다. 데이터에서 해로의 사상이 이 공간에서 연속이 아니기 때문이다.
• 고정된 시간 간격 동안 $C^1$ 노름에서 노름 폭발을 보이는 해를 갖는, $W^{1,p}$에 속하는 초기 비타시티 수열 $\omega_{0,n}$가 구성된다.
• $C^1$ 연속성 가정이 케이토-폰스 결과와 모순되며, 이는 $s > 1 + 2/p$에 대해 $\|\omega(t)\|_{W^{s-1,p}}$에 균일한 유계를 보장한다.
• 편미분 $\beta_n$은 $n$이 클수록 $L^p$-노름 기여를 비타시티 기울기에서 $M$ 정도로 증가시키며, 흐름의 차이는 $C^1$-노름에서 사라진다.
• 변형 기울기를 강화하기 위해 기함수 대칭성과 정지점 구조를 활용함으로써 $C^1$ 반노름에서 강한 노름 폭발을 보장한다.
• 이 결과는 2차원에서 옐러르 방정식의 잘 정의성에 대해 $C^1$ 공간의 임계성에 관한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.