[논문 리뷰] Ill-posedness results in critical spaces for some equations arising in hydrodynamics

Tarek M. Elgindi, Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 10.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 27인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 3D 유동역학 방정식인 3D 에일러, 올드로이드-B, SQG, 부시네스크 방정식에서 임계 정규성 공간에서 $L^∞$ 에 대한 강한 불안정성을 새롭게 선형화 분석 프레임워크를 통해 확립한다. 이 프레임워크는 최소한의 정규성 가정 하에 $L^\infty$ 에서 노름 폭발을 증명하며, 작은 $L^\infty$-노름을 가진 초기 자료로부터 시작하는 해가 임의로 작은 시간 내에 $L^\infty$ 노름에서 임의로 크게 증가할 수 있음을 보여주며, 임계 공간에서 초기 자료에 대한 연속적인 의존성이 없음을 입증한다.

ABSTRACT

Many questions related to well-posedness/ill-posedness in critical spaces for hydrodynamic equations have been open for many years. In this article we give a new approach to studying norm inflation (in some critical spaces) for a wide class of equations arising in hydrodynamics. As an application, we prove strong ill-posedness of the $n$-dimensional Euler equations in the class $C^1\cap L^2 (Ω)$ and also in $C^k \cap L^2(Ω)$ where $Ω$ can be the whole space, a smooth bounded domain, or the torus. We also apply our method to the Oldroyd B, surface quasi-geostrophic, and Boussinesq systems.

연구 동기 및 목표

• 유체역학 방정식의 임계 공간에서 잘 정의된 문제/불안정성에 대한 오랜 동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 다양한 영역에서 $C^1 \cap L^2$ 및 $C^k \cap L^2$ 공간에서 $n$-차원 에일러 방정식에 대해 $L^\infty$ 에서의 강한 불안정성을 확립하기 위해.
• 이 방법을 올드로이드-B, 표면 준지구학적(SQG), 부시네스크 시스템과 같은 다른 방정식으로 확장하기 위해.
• 선형화 분석과 교환자 추정을 통해 $L^\infty$ 에서의 노름 폭발을 입증하는 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 초기 자료가 $L^\infty$ 노름에서 작더라도 해가 초기 자료에 대해 불연속적인 의존성을 보일 수 있음을 입증하기 위해.

제안 방법

• 리프시츠 속도장과 특이 적분 강하항을 가진 운반 방정식에서 $L^\infty$ 에서의 노름 폭발을 연구하기 위해 새로운 선형화 프레임워크를 개발한다.
• 흐름에서 비선형 교란을 제어하기 위해 $L^p$ 와 $W^{1,p}$ 공간에서의 교환자 추정을 사용한다.
• 에일러 방정식에 이 방법을 적용하기 위해 라그랑주 흐름 맵을 따라 코어시티 방정식을 분석하고, $L^\infty$ 에서 지수적 증가를 보이는 선형화 시스템을 유도한다.
• 밀도 또는 코어시티의 기울기의 $L^\infty$ 노름이 크지만 $L^\infty$ 노름이 임의로 작은 $C^\infty_c$ 에서의 초기 자료 수열을 구성한다.
• 선형화된 진화를 표현하기 위해 선형 군 $\exp(Lt)$ 를 사용하고, 교환자와 비선형 항을 포함하는 적분 방정식을 유도한다.
• 비에일러 시스템에 이 프레임워크를 적용하기 위해 비국소 연산자가 조건 1을 만족하고 임계 베소프 임베딩이 성립함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 에일러 방정식이 $C^1 \cap L^2$ 공간에서 강한 $L^\infty$ 불안정성을 가지는가?
• RQ2 제안된 선형화된 방법이 SQG 및 올드로이드-B와 같은 비국소 연산자를 가진 방정식에서 $L^\infty$ 에서의 노름 폭발을 유도하는가?
• RQ3 이 방법을 $k \geq 1$ 인 $C^k$ 정규성 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 $L^\infty$ 노름에서 초기 자료가 작더라도 초기 자료에 대한 불연속적인 의존성이 $L^\infty$ 에서 가능할 수 있는가?
• RQ5 비국소 연산자와 속도장에 어떤 조건이 있어야 선형화된 시스템에서 $L^\infty$ 노름 폭발이 발생하는가?

주요 결과

• 3D 에일러 방정식은 $\Omega$ 가 $\mathbb{R}^n$, 매끄럽고 유계인 영역, 또는 토러스일 경우 $C^1 \cap L^2(\Omega)$ 에서 강하게 불안정하다.
• 밀도 또는 코어시티의 기울기의 $L^\infty$ 노름이 크지만 $L^\infty$ 노름이 임의로 작은 초기 자료에 대해 $L^\infty$ 에서의 노름 폭발이 발생한다.
• SQG 방정식의 경우, $\partial_{tt}\hat{\omega} = -\frac{\xi_1^2}{|\xi|^2}\hat{\omega}$ 를 만족하는 선형화 시스템을 통해 강한 $L^\infty$ 불안정성이 입증된다. 이는 $L^\infty$ 에서 지수적 증가를 이끈다.
• 이 방법은 비국소 연산자가 조건 1을 만족하고 임계 베소프 임베딩이 성립함을 확인함으로써 올드로이드-B 및 부시네스크 시스템에 대해 약한 불안정성을 입증한다.
• 이 구성은 모든 $p < \infty$ 에 대해 $W^{1,p}$ 에서 시작하여 유한 시간 내에 $W^{1,q}$ ($q > 2$) 에서 벗어나는 3D 에일러 방정식의 해를 제공하며, 진정한 불안정성을 보여준다.
• 핵심 결과는 $|\nabla\rho^\epsilon|_{L^\infty} \geq \frac{c}{2}\epsilon t \log N - C\epsilon^2 t^2 (\log N)^2$ 이며, 이는 작은 $t$ 와 큰 $N$ 에서 어떤 상수보다도 초과하므로 노름 폭발을 증명한다.