[논문 리뷰] Illustrating a problem in the self-financing condition in two 2010-2011 papers on funding, collateral and discounting

Damiano Brigo, Cristin Buescu외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 10.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자금조달, 담보 및 할인에 관한 2010–2011년 두 편의 영향력 있는 논문에서 사용된 자기자금 조달 조건에 심각한 오류를 밝혀낸다. 이 오류는 주식 또는 하위포트폴리오가 현금 포지션과 별개로 독립적으로 자기자금 조달 가능하다고 잘못 가정하고 있으며, 가격, 수익, 배당금 과정의 적절한 분해를 통해 수정된 유도 과정을 제공함으로써 원래의 가격 정책 결과가 조건이 올바르게 제시될 경우 여전히 유효하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We illustrate a problem in the self-financing condition used in the papers "Funding beyond discounting: collateral agreements and derivatives pricing" (Risk Magazine, February 2010) and "Partial Differential Equation Representations of Derivatives with Counterparty Risk and Funding Costs" (The Journal of Credit Risk, 2011). These papers state an erroneous self-financing condition. In the first paper, this is equivalent to assuming that the equity position is self-financing on its own and without including the cash position. In the second paper, this is equivalent to assuming that a subportfolio is self-financing on its own, rather than the whole portfolio. The error in the first paper is avoided when clearly distinguishing between price processes, dividend processes and gain processes. We present an outline of the derivation that yields the correct statement of the self-financing condition, clarifying the structure of the relevant funding accounts, and show that the final result in "Funding beyond discounting" is correct, even if the self-financing condition stated is not.

연구 동기 및 목표

• 자금조달, 담보 및 할인에 관한 2010–2011년 두 편의 널리 인용된 논문에서 사용된 자기자금 조달 조건의 근본적인 오류를 식별하고 수정한다.
• 자금조달 및 담보를 포함한 자기자금 조달 전략의 맥락에서 가격 과정, 수익 과정, 배당금 과정 간의 차이를 명확히 한다.
• 자기자금 조달 조건이 정확히 제시될 경우, 대상 논문들에서 도출된 원래의 가격 정책 결과가 여전히 유효하다는 것을 보여준다.
• 하위포트폴리오 또는 주식 포지션이 전체 포트폴리오(현금 포함)와 별개로 독립적으로 자기자금 조달 가능하다는 오해를 수정한다.
• 모든 포트폴리오 다이내믹스 성분을 적절히 반영함으로써 자금조달 비용을 모델링하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 포트폴리오 내 각 자산의 가격 및 배당금 과정에서 수익 과정을 명시적으로 분리하여 올바른 자기자금 조달 조건을 도출한다.
• 이전 연구에서 발견된 오류를 피하기 위해 확률적 라이프니츠 법칙을 정확히 적용하여 포트폴리오 가치 및 수익의 다이내믹스 간 일관성을 확보한다.
• 전체 포트폴리오 수익 과정을 개별 자산 수익의 함수로 표현하기 위해 항등식 $ dG^{\Pi} = \theta_1 dG_1 + \theta_2 dG_2 + \theta_3 dG_3 $ 를 사용한다.
• 자금조달 계정 $ \theta_3 = V^Y - C $ 를 파생상품 가치와 담보의 함수로 재구성하여 자기자금 조달 조건과의 일관성을 확보한다.
• 파생상품 가치 $ V^Y $ 에 이토의 공식을 적용하고, 유도된 다이내믹스를 수익 과정과 동일시함으로써 올바른 편미분방정식(PDE)을 유도한다.
• 자기자금 조달 조건이 정확히 적용될 경우, [19]에서 도출된 원래의 가격 PDE가 복원됨을 보여주며, 이는 잘못된 유도 과정에도 불구하고 결과의 타당성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2010–2011년 논문들에서 자기자금 조달 조건이 현금 및 자금조달 포지션을 포함한 전체 포트폴리오 다이내믹스를 충분히 반영하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ2 하위포트폴리오가 독립적으로 자기자금 조달 가능하다는 잘못된 가정이 자금조달 비용 모델링에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 자금조달, 담보 및 주식이 모두 존재할 경우 자기자금 조달 조건의 정확한 수학적 표현은 무엇인가?
• RQ4 '할인을 초월한 자금조달'에서 도출된 원래의 가격 결과는 오류가 있는 자기자금 조달 조건을 피한 엄밀한 유도 과정을 통해 재구할 수 있는가?
• RQ5 자기자금 조달 전략에서 가격, 수익 및 가치 다이내믹스를 구분하는 데 있어 배당금 과정의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 2010–2011년 논문들에서 자기자금 조달 조건은 주식 포지션 또는 하위포트폴리오가 현금 또는 자금조달 포지션 없이도 독립적으로 자기자금 조달 가능하다고 잘못 가정하고 있다.
• 오류는 확률적 라이프니츠 법칙을 잘못 적용함으로써 발생하며, 이는 포트폴리오의 수익 과정 분해에 오류를 초래한다.
• 정확한 자기자금 조달 조건은 총 수익 과정 $ dG^{\Pi} $ 가 모든 구성 요소(자금조달 계정 포함)에 따라 변화하는 포트폴리오 가치의 변화 $ dV^{\Pi} $ 와 같아야 한다는 것을 요구한다.
• 오류가 있는 자기자금 조달 조건에도 불구하고, '할인을 초월한 자금조달'에서 도출된 최종 PDE는 올바르며, 올바른 프레임워크를 사용해 재유도할 수 있다.
• 특히 담보가 있는 파생상품 및 파산 가능성이 있는 상품의 경우, 자금조달 비용을 정확히 모델링하기 위해 가격 과정, 수익 과정, 배당금 과정 간의 구분이 필수적이다.
• 자금조달 계정 $ \theta_3 = V^Y - C $ 는 독립적으로 자기자금 조달 가능하다고 가정하는 대신, 포트폴리오 가치와 담보로부터 일관되게 도출되어야 한다.