[논문 리뷰] Images directes et fonctions L en cohomologie rigide

Jean-Yves Étesse|ArXiv.org|2008. 03. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정확도가 높은 특성의 완전체 위에서의 고르지 않은 특성의 정규적이고 매끄러운 사상에 대한 린드 코homology에서의 고차 직접 이미지의 과수렴성에 관한 버텔로의 추측을 부분적으로 증명한다. 이는 V 위에서의 승수나 상대적 완전교차 구조를 만족하는 사상에서 수렴성 및 과수렴성 F-이스코어클레스의 직접 이미지에 대한 수렴성을 확립하며, 이는 관련 L-함수의 유리성 및 유리형 성질과 p-진 단위 영점 및 극의 분석을 가능하게 하며, 특히 일반적인 아벨 스킴에 대해 성립한다.

ABSTRACT

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$, $\mathcal{V}$ a complete discrete valuation ring with residue field $k$ and field of fractions $K$ of characteristic 0, and $S$ a separated $k$-scheme of finite type. When $S$ is smooth over $k$, we partially prove here a conjecture of Berthelot about the overconvergence of the higher direct images of the structure sheaf under a proper smooth morphism $f:X o S$; when $k$ is perfect and $\mathcal{V}$ is tamely ramified such direct images are always convergent, not only for the structure sheaf but also for (almost) every convergent $F$-isocrystals. More generally, we prove this overconvergence when $f$ is liftable over $\mathcal{V}$, or when $X$ is a relative complete intersection in some projective spaces over $S$, and taking as coefficients any overconvergent isocrystals. We then apply these results to $L$-functions with coefficients such direct images with Frobenius structure: we derive rationality or meromorphy for these $L$-functions (Dwork's conjecture), and we study their $p$-adic unit zeroes and poles (Katz's conjecture) ; and explicit case concerns the ordinary abelian schemes. A more precise presentation of results by chapters is given in the introduction.

연구 동기 및 목표

• 정확도가 높은 특성의 완전체 위에서의 고르지 않은 특성의 정규적이고 매끄러운 사상에 대한 린드 코호몰로지에서의 고차 직접 이미지의 과수렴성에 관한 버텔로의 추측을 부분적으로 증명하는 것.
• 특정 기하 조건 하에서 기저층에서의 과수렴성 결과를 (거의 모든) 수렴성 F-이스코어클레스 및 임의의 과수렴성 이소클레스로 확장하는 것.
• 이러한 코호몰로지 결과를 응용하여, 더윅의 추측에 따라 직접 이미지의 계수를 가진 L-함수의 유리성 및 유리형 성질을 연구하는 것.
• 이러한 L-함수의 p-진 단위 영점 및 극의 행동을 분석하여 카츠의 추측에 대응하는 것.
• 크리스탈린 및 싱토믹 코호몰로지 도구를 통해 일반적인 아벨 스킴 및 p-나누어지지 않는 군에 대해 명시적인 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 완전한 이산가중치환의 정수환 V를 중심으로 한 형식 스킴 및 승수를 사용한다. 여기서 k는 특성 p > 0인 잔여체이다.
• 몬스키-워시니처 대수와 (F)-크리스탈 및 (F)-이소클레스 이론을 적용하여 대수적 코호몰로지와 린드 코호몰로지를 연결한다.
• 에테일 코호몰로지와 린드 코호몰로지 사이의 다리 역할을 하는 싱토믹 코호몰로지 이론을 활용하며, 특히 컴actsupport된 코호몰로지에 대해 적용한다.
• 린드 해석 기하학에서의 기저 변경 및 엄격한 이웃 영역을 통한 과수렴성 F-이소클레스 및 그 직접 이미지에 대한 결과를 적용한다.
• 이소클레스의 프로베누스 작용을 이용하여 제타함수와 추적 공식을 통해 L-함수를 정의하고 연구한다.
• 린드, 에테일, 싱토믹 코호몰로지 간의 비교 정리를 적용하여 L-함수의 유리성 및 유리형 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확도가 높은 특성의 완전체 위에서 정규적이고 매끄러운 사상에 대해 과수렴성 F-이소클레스의 고차 직접 이미지가 어떤 조건에서 과수렴성을 가지는가?
• RQ2 직접 이미지의 과수렴성은 기저층을 초월하여 일반적인 수렴성 및 과수렴성 F-이소클레스로 확장될 수 있는가?
• RQ3 과수렴성의 영향은 이러한 직접 이미지의 계수를 가진 L-함수의 유리성 및 유리형 성질에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 특히 일반적인 아벨 스킴의 경우, 이러한 L-함수의 p-진 단위 영점 및 극은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 직접 이미지 위에서 프로베누스 작용의 상사성은 관련 L-함수의 산술적 성질을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• S가 특성 p > 0인 완전체 k 위에서 매끄러운 스킴이고 f: X → S가 정규적이고 매끄러운 사상일 때, V가 온전히 분할된 경우 기저층의 고차 직접 이미지는 과수렴성을 갖는다.
• f가 V 위에서 승수 가능하거나 X가 S 위의 사영 공간에서의 상대적 완전교차일 경우, (거의 모든) 수렴성 F-이소클레스 및 임의의 과수렴성 이소클레스로 과수렴성 성질이 확장된다.
• 이러한 직접 이미지의 계수를 가진 L-함수는 유리성 또는 유리형 성질을 갖는다. 이는 이러한 경우에 더윅의 추측을 확인한다.
• 이러한 L-함수의 p-진 단위 영점 및 극은 뉴턴 다각형과 프로베누스 작용에 의해 제어되며, 이는 카츠의 추측을 지지한다.
• 일반적인 아벨 스킴의 경우 L-함수는 유리형이며, 관련된 p-나누어지지 않은 군의 크리스탈린 및 싱토믹 코호몰로지를 통해 단위 영점 및 극이 정확히 기술된다.
• 싱토믹 코호몰로지와 에테일 코호몰로지 간의 비교 동형은 산술적 성질을 L-함수 수준으로 이전시키며, 특히 유한 에테일 쌍대 및 유니포텐트 모노드로미가 존재하는 경우에 유용하다.