[논문 리뷰] Imaging of buried obstacles in a two-layered medium with phaseless far-field data

Long Li, Jiansheng Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 55인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단일 위상 없는 원거리장 데이터만을 사용하여 이중층 매질 내에 묻힌 장애물을 복원하기 위한 이단계 이미징 방법을 제안한다. 두 개의 평면파를 초과하여 구성된 직접 이미징 방법을 통해 소형 비정상성을 위치 파악한 후, 연속적인 뉴턴 유형 반복 알고리즘을 적용하여 연장된 장애물의 형태를 복원함으로써, k+ < k−인 도전적인 경우에도 정확한 위치 및 형태 복원을 달성한다.

ABSTRACT

The inverse problem we consider is to reconstruct the location and shape of buried obstacles in the lower half-space of an unbounded two-layered medium in two dimensions from phaseless far-field data. A main difficulty of this problem is that the translation invariance property of the modulus of the far field pattern is unavoidable, which is similar to the homogenous background medium case. Based on the idea of using superpositions of two plane waves with different directions as the incident fields, we first develop a direct imaging method to locate the position of small anomalies and give a theoretical analysis of the algorithm. Then a recursive Newton-type iteration algorithm in frequencies is proposed to reconstruct extended obstacles. Finally, numerical experiments are presented to illustrate the feasibility of our algorithms.

연구 동기 및 목표

• 단일 위상 없는 원거리장 데이터만을 사용하여 이중층 매질 내에 묻힌 장애물의 위치와 형태를 복원하는 역산 산란 문제를 다루는 것.
• 위상 없는 데이터에서 내재된 이동 불변성 문제를 극복하기 위해 서로 다른 방향을 가진 두 개의 입사 평면파의 초과를 활용하는 것.
• 소형 비정상성의 初기 위치 파악을 위한 직접 이미징 방법과 연장된 장애물의 정확한 형태 복원을 위한 반복적인 뉴턴 유형 반복 알고리즘을 개발하는 것.
• 다양한 파동 속도 대비 비율(k+ > k− 및 k+ < k−)에서의 수치 실험을 통해 제안된 알고리즘의 효과성을 검증하는 것.

제안 방법

• 위상 없는 원거리장 데이터의 이동 불변성을 깨뜨리기 위해 서로 다른 방향을 가진 두 개의 평면파를 입사장으로 사용하는 것.
• 초과 원리에 기반한 직접 이미징 방법을 개발하여 샘플링 영역에서 이미징 함수를 최대화함으로써 소형 비정상성의 위치를 파악하는 것.
• 주파수 영역에서 반복적인 뉴턴 유형 반복 알고리즘을 적용하여 연장된 장애물을 복원하고, 직접 이미징 결과를 초기 추정치로 사용하는 것.
• 원거리장 패턴의 渐近적 행동과 두 층 간의 경계에서의 전달 조건을 포함한 헬름홀츠 방정식을 사용하여 이중층 매질 내 산란를 모델링하는 것.
• 다중 주파수 계속성 기법을 적용하여 반복 과정에서 파동 수 k+와 k−를 업데이트함으로써 해상도를 향상시키는 것.
• 수치 실험에서 시험 장애물을 정의하기 위해 매개변수 곡선 표현 방식(예: 타원, 사과 모양, 둥근 삼각형/정사각형)을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초과된 평면파에 기반한 직접 이미징 방법은 위상 없는 원거리장 데이터로부터 이중층 매질 내 소형 묻힌 장애물의 위치를 효과적으로 파악할 수 있는가?
• RQ2 위상 없는 원거리장 데이터만을 사용할 경우, 반복적인 뉴턴 유형 반복 알고리즘은 연장된 장애물의 형태와 위치를 재구성할 수 있는가?
• RQ3 파동 속도 대비 비율(k+ > k− 대비 k+ < k−)은 제안된 알고리즘의 재구성 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 직접 이미징 방법이 연장된 장애물의 반복적 재구성에 대해 얼마나 신뢰할 수 있는 초기 추정치를 제공할 수 있는가?
• RQ5 4%의 노이즈가 원거리장 데이터에 첨가된 수치 실험을 통해 제안된 방법이 노이즈에 대해 강건한가?

주요 결과

• 직접 이미징 방법은 실제 장애물 위치 근처에 국소 최댓값을 보이며 소형 비정상성을 성공적으로 위치 파악한다. 예를 들어 사과 모양의 장애물의 경우 (0.16, −3.69) 근처에서 그러한 최댓값을 기록한다.
• 직접 이미징 결과를 초기 추정치로 사용할 경우, 반복적인 뉴턴 유형 반복 알고리즘이 연장된 장애물의 전체 형태를 매우 정확하게 재구성한다. 그 결과는 그림 4.4(c) 및 4.5(c)에서 확인할 수 있다.
• k+ > k−인 경우에 비해 k+ < k−인 경우 재구성 품질이 떨어지며, 특히 후자의 경우 장애물의 하단 부분이 덜 정확하게 재구성된다.
• 다중 장애물(예: 타원, 둥근 삼각형, 둥근 정사각형)의 경우, 상단 및 중앙 부분은 정확하게 재구성되지만, 둥근 정사각형의 하단 부분은 덜 정확하게 재구성된다.
• 4%의 노이즈가 첨가된 상황에서도 방법이 효과적으로 유지되며, 예제 4–7에서 일관된 위치 파악과 형태 복원이 이루어짐을 입증한다.
• 완전한 위상 데이터가 확보되지 않는 이중층 매질 내 위상 없는 역산 산란 문제에 대해 실용적인 해결책을 제공한다.