[논문 리뷰] Impact of a cost functional on the optimal control and the cost-effectiveness: control of a spreading infection as a case study

Fernando Saldaña, José Ariel Camacho-Gutíerrez외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 연구는 SIR 및 SEIRS 전염병 모델에서 다양한 비용 기능형태—특히 제어 변수(제1형, 제2형) 및 상태 변수에 대한 거듭제곱 기반 의존성—이 최적 제어 전략에 미치는 영향을 조사한다. 결과적으로, 간병 비용이 낮을 경우 제어의 거듭제곱 지수 n에 대한 변화에 대해 최적 제어 전략이 강건하지만, 상태에 의존하는 비용 구조는 결과를 지배적으로 좌우하여 매우 민감함을 보인다.

ABSTRACT

In applications of the optimal control theory to problems in medicine and biology, the dependency of the objective functional on the control itself is often a matter of controversy. In this paper, we explore the impact of the dependency using reasonably simple \emph{SIR} and \emph{SEIRS} epidemic models. To qualitatively compare the outcomes for different objective functionals, we apply the cost-effectiveness analysis. Our result shows that, at least for the comparatively inexpensive controls, the variation of the power at the controls in a biologically feasible range does not significantly affect the forms of the optimal controls and the corresponding optimal state solutions. Moreover, the costs and effectiveness are affected even less. At the same time, the dependency of the cost on the state variables can be very significant.

연구 동기 및 목표

• 다양한 비용 기능형태에 대한 전염병 모델에서 최적 제어 해법의 강건성 평가.
• 비용 기능형태의 수학적 형태—특히 제어 변수에 대한 거듭제곱 의존성(n ≠ 2) 및 상태 변수에 대한 의존성—이 최적 제어의 구조와 효과성에 미치는 영향 조사.
• 생물의학적 제어 적용에서 L2형(이차형) 대비 L1형(선형) 비용 기능형태의 실용적 함의 평가.
• 다양한 기능형태 간의 비용 효율성 분석 수행을 통해 더 신뢰성 있고 일반화 가능한 결과를 도출하는 기능형태 식별.
• 일반적으로 사용되는 L2 비용 기능형태가 제어 변수에 대한 진정한 비용 의존성이 불확실할 경우 신뢰할 수 있는 대체 측정기준이 되는지 규명.

제안 방법

• SIR 및 SEIRS 전염병 모델을 사용하여 네 가지 다른 비용 기능형태 시나리오—QSI(이차형, 밀도 독립형), LSI(선형형, 밀도 독립형), QSD(이차형, 밀도 의존형), LSD(선형형, 밀도 의존형)—를 포함하는 최적 제어 문제 설정.
• 최적성의 필요 조건 유도를 위해 포트리야긴의 최대원리 적용으로 문제를 두점 경계값 문제로 환원.
• 모든 네 가지 시나리오 간 최적 제어 프로파일 및 상태 궤적 비교를 위한 수치 시뮬레이션 수행.
• 비용 효율성 분석 수행을 통해 다양한 기능형태 간 총 비용 및 간병 효과성 정량 비교.
• 제어 비용의 기능형태에 대한 민감도 평가를 위해 u^n에서의 거듭제곱 지수 n(제1형은 n=1, 제2형은 n=2) 변화 분석.
• 제어 변수에만 의존하는 비용 대비 상태 변수에 의존하는 비용(예: 감염자 밀도 비례 비용)의 영향 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 의존 비용 항 u^n의 거듭제곱 지수 n이 전염병 모델에서 최적 제어의 구조 및 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 밀도 독립형 대비 밀도 의존형 비용 기능형태가 최적 제어 전략 및 전염병 역학에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 제어에 대한 비용 기능형태의 변화에 대해 최적 제어 해법이 얼마나 강건한가?
• RQ4 상태에 의존하는 비용 구조가 최적 제어 및 총 비용 효율성에 미치는 영향은 얼마나 크며, 어떤 정도의 영향을 미치는가?
• RQ5 제어 변수에 대한 진정한 비용 의존성이 불확실하거나 비이차형일 경우, L2형 비용 기능형태가 신뢰할 수 있는 근사치로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• SIR 및 SEIRS 모델 모두에서 밀도 독립형 비용의 경우, 제1형(L1) 및 제2형(L2) 제어 비용 기능형태 간 최적 제어 및 상태 궤적은 정성적으로 유사함.
• 밀도 의존형 비용 기능형태(QSD 및 LSD)의 최적 제어 및 해법은 밀도 독립형 사례와 상당히 다름을 보이며, 이는 상태에 의존하는 비용에 대한 강한 민감도를 시사함.
• 간병 비용이 낮을 경우(잠재적 감염 손실의 10%), 제어 비용 항의 거듭제곱 지수 n의 변화에 대해 최적 제어가 강건하며, 제어 구조나 효과성에 미치는 영향이 최소한임.
• 상태 변수에 의존하는 비용(예: 감염자 밀도 비례)의 영향은 L1 및 L2 제어 비용 형태 간의 선택보다 최적 제어 및 비용 효율성에 더 큰 영향을 미침.
• 비록 최적 제어 프로파일이 n의 변화에 대해 강건하더라도, 동일한 제어 전략 하에서 n=1 또는 n=2일 경우 실제 총 비용은 상당히 다를 수 있음.
• 제어 비용 의존성이 불확실한 경우, 간병 비용이 질병 부담 대비 낮을 경우 L2형 기능형태는 실제 전염병 제어 계획 수립에 대해 여전히 타당하고 실용적인 기초로 유지됨.