[논문 리뷰] Impatient Online Matching

Liu, Xingwu, Pan, Zhida외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 17.

Optimization and Search Problems참고 문헌 12인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 최소비용 완전매칭 문제에 지연이 있는 경우(MPMD)에 대해 처음으로 다항로그 경쟁비율 상한을 제시하며, 트리 임bedding과 트리에서의 새로운 결정론적 알고리즘을 활용하여 O(log n)의 랜덤화된 경쟁비율을 달성한다. 또한 MPMD에 대해 처음으로 비상수 하한을 Ω(√log n)으로 확립하고, 이중형 변형(MBPMD)에 대해선 Ω(log^{1/3} n)으로 제시하여, 지연이 있는 온라인 매칭 문제의 경쟁비율에 대한 기존 상한과 하한 사이의 격차를 해소한다.

ABSTRACT

We consider the problem of online Min-cost Perfect Matching with Delays (MPMD) recently introduced by Emek et al, (STOC 2016). This problem is defined on an underlying $n$-point metric space. An adversary presents real-time requests online at points of the metric space, and the algorithm is required to match them, possibly after keeping them waiting for some time. The cost incurred is the sum of the distances between matched pairs of points (the connection cost), and the sum of the waiting times of the requests (the delay cost). We present an algorithm with a competitive ratio of $O(\log n)$, which improves the upper bound of $O(\log^2n+\logΔ)$ of Emek et al, by removing the dependence on $Δ$, the aspect ratio of the metric space (which can be unbounded as a function of $n$). The core of our algorithm is a deterministic algorithm for MPMD on metrics induced by edge-weighted trees of height $h$, whose cost is guaranteed to be at most $O(1)$ times the connection cost plus $O(h)$ times the delay cost of every feasible solution. The reduction from MPMD on arbitrary metrics to MPMD on trees is achieved using the result on embedding $n$-point metric spaces into distributions over weighted hierarchically separated trees of height $O(\log n)$, with distortion $O(\log n)$. We also prove a lower bound of $Ω(\sqrt{\log n})$ on the competitive ratio of any randomized algorithm. This is the first lower bound which increases with $n$, and is attained on the metric of $n$ equally spaced points on a line. The problem of Min-cost Bipartite Perfect Matching with Delays (MBPMD) is the same as MPMD except that every request is either positive or negative, and requests can be matched only if they have opposite polarity. We prove an upper bound of $O(\log n)$ and a lower bound of $Ω(\log^{1/3}n)$ on the competitive ratio of MBPMD with a more involved analysis.

연구 동기 및 목표

• 최소비용 완전매칭 문제에 지연이 있는 경우(MPMD)에 대해 기존 상한과 하한 사이의 격차를 해소하기.
• 이전에 O(log²n + log ∆)로 제한되었던 경쟁비율에서 측도 공간의 비율 ∆에 대한 의존성을 제거하기.
• MPMD 및 그 이중형 변형인 MBPMD에 대해 처음으로 비상수 하한을 확립하기.
• 특히 n개의 등간격으로 배열된 점들로 이루어진 직선에서의 메트릭 공간에서 랜덤화 알고리즘의 경쟁성능을 분석하기.
• 결정론적 알고리즘의 가능성과 일반화된 메트릭 제약 조건을 가진 k차원 매칭으로의 확장 가능성 탐색하기.

제안 방법

• 높이 h인 간선 가중치가 부여된 트리에서 MPMD에 대해 결정론적 알고리즘 설계하여, 임의의 타당한 해의 연결 비용의 O(1) 배 이내, 지연 비용의 O(h) 배 이내의 비용을 보장한다.
• 확률적 트리 임베딩(특히 계층적으로 분리된 트리의 분포)을 사용하여 일반적인 n점 메트릭에서의 MPMD 문제를 O(log n)의 왜곡을 가진 트리 문제로 환원한다.
• n개의 등간격으로 배열된 점들로 이루어진 단위 구간에서, 매개변수 r = ⌊(ln²/³ n)/4⌋, ρ = e^√r, a = 1/√r를 사용하여 도착 시간과 극성(폴라리티)이 제어된 요청을 생성하는 랜덤화된 적대적 인스턴스를 구성한다.
• 랜덤 워크 이격도 수치를 사용해 임의의 결정론적 알고리즘의 기대 비용을 분석하여 E[|csur(x)|] = O(√r)임을 보인다.
• 적대적 인스턴스에서 최적 해의 비용이 O(√r)임을 증명하고, 알고리즘의 기대 비용이 Ω(r)임을 보여 경쟁비율 하한을 도출한다.
• 요청의 극성이 반대일 수 있도록 허용하고 동일한 적대적 분포 하에서 지연 비용과 연결 비용을 분석함으로써, MBPMD에 대한 하한 구조를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연이 있는 온라인 최소비용 완전매칭의 경쟁비율은 메트릭 공간의 비율 ∆에 독립적으로 유계가 될 수 있는가?
• RQ2 n점 메트릭 공간에서 MPMD에 대해 랜덤화 알고리즘이 달성할 수 있는 최고의 경쟁비율은 무엇인가?
• RQ3 MPMD 및 MBPMD에 대해 랜덤화 알고리즘의 경쟁비율에 대해 비상수 하한이 존재하는가?
• RQ4 O(log n)을 초월하는 경쟁비율을 달성하기 위해 트리 임베딩 접근법을 피할 수 있는가?
• RQ5 일반 메트릭에서 M(B)PMD에 대해 결정론적 알고리즘과 랜덤화 알고리즘 간의 경쟁성능 격차는 얼마인가?

주요 결과

• 논문은 측도 공간의 비율 ∆에 의존하지 않는 O(log n) 경쟁비율을 가지는 랜덤화된 온라인 알고리즘을 제시한다.
• n점 직선 메트릭에서 임의의 랜덤화 알고리즘에 대해 경쟁비율 하한 Ω(√log n)을 증명하였으며, 이는 n에 따라 증가하는 첫 번째 하한이다.
• 이중형 변형인 MBPMD에 대해선 경쟁비율 상한 O(log n)과 하한 Ω(log^{1/3} n)을 확립하였다.
• 적대적 인스턴스에서 최적 해의 비용은 2ar + O(√r) + o(ar)로 유계이며, 선택된 매개변수 하에 O(√r)로 단순화된다.
• 임의의 결정론적 알고리즘의 기대 비용이 Ω(r)임을 보여 MBPMD에 대해 경쟁비율 하한이 Ω(√r) = Ω(log^{1/3} n)임을 도출한다.
• 분석은 대칭 랜덤 워크 r+1단계의 기대 절대 이격도를 유계화하여 E[|csur(x)|] = O(√r)를 도출하며, 이는 하한 분석에 핵심적인 역할을 한다.