[논문 리뷰] Implementation of Linear Model Predictive Control -- Tutorial

Michael Fink|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 24.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 튜토리얼은 상태 및 입력 제약 조건이 있는 이산 시간 시스템에 대한 선형 모델 예측 제어(MPC)의 실용적 구현을 제시한다. 종단 제약 조건과 종단 비용을 통해 순환 가능성과 안정성을 강조한다. 효율적인 MATLAB 계산을 위해 MPC 최적화 문제를 이차형식 프로그래밍(QP)으로 재구성하는 방법을 설명하며, 종단 집합을 포함하거나 생략한 시뮬레이션 예제를 통해 순환 가능성 상실의 원인을 설명한다.

ABSTRACT

This tutorial shows an overview of Model Predictive Control with a linear discrete-time system and constrained states and inputs. The focus is on the implementation of the method under consideration of stability and recursive feasibility. The MATLAB code for the examples and plots is available online.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 시스템에 대한 상태 및 입력 제약 조건이 있는 선형 모델 예측 제어(MPC)를 체계적이고 단계적으로 구현하는 데 대한 종합적인 튜토리얼 제공.
• 종단 제약 조건 집합과 종단 비용 함수를 통합하여 MPC에서 순환 가능성과 안정성을 보장.
• MATLAB에서 효율적인 수치적 해법을 위해 MPC 최적화 문제를 표준 이차형식 프로그래밍(QP) 형태로 재구성하는 방법을 설명.
• 종단 제약 조건을 생략할 경우 발생하는 영향을 시뮬레이션을 통해 분석하여 순환 가능성 상실의 원인을 설명.
• 모든 예제와 그래프에 대한 오픈소스 MATLAB 코드를 제공하여 재현 가능성과 실용적 학습 지원.

제안 방법

• 상태 $ \boldsymbol{x}_k \in \mathcal{X} $ 및 입력 $ \boldsymbol{u}_k \in \mathcal{U} $ 제약 조건이 있는 선형 이산 시간 시스템 모델을 $ \boldsymbol{x}_{k+1} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_k + \boldsymbol{B}\boldsymbol{u}_k $ 로 수식화.
• 상태 및 입력 가중치 $ \boldsymbol{Q} \succeq 0 $, $ \boldsymbol{R} \succ 0 $ 와 종단 비용 $ \boldsymbol{Q}_f $ 를 포함한 유한 예측 시간 최적 제어 문제 정의.
• 예측 시간 영역 전체에 걸쳐 예측된 상태와 입력을 하나의 최적화 벡터로 표현하기 위해 MPC 문제를 확장된 시스템 표현으로 재구성.
• 예측 상태 및 입력 시퀀스에 대한 확장된 제약 조건을 도입하며, 특히 순환 가능성을 보장하기 위해 종단 제약 조건 $ \boldsymbol{x}_{k+N|k} \in \mathcal{X}_f $ 를 포함.
• 비용 함수와 제약 조건을 표준 QP 형태로 표현하여 MATLAB 내 표준 QP 솔버를 효율적으로 활용할 수 있도록 이차형식 프로그래밍(QP) 문제로 변환.
• 안정성과 순환 가능성을 보장하기 위해 MPT3 툴박스를 사용하여 최대 안정 집합으로서 종단 제약 조건 집합 $ \mathcal{X}_f $ 를 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 및 입력 제약 조건 하에서 순환 가능성과 안정성을 보장하면서 선형 모델 예측 제어를 어떻게 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 MPC에서 순환 가능성과 안정성을 보장하는 데 있어 종단 비용과 종단 제약 조건 집합의 역할은 무엇인가?
• RQ3 종단 제약 조건을 생략할 경우 MPC 시뮬레이션에서 순환 가능성 상실가 발생하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 실제 적용 시 상태 및 입력 제약 조건이 MPC 최적화 문제와 그 해법에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ5 MPC 최적화 문제를 어떻게 표준 이차형식 프로그래밍(QP) 형태로 재구성하여 MATLAB에서 빠르고 신뢰할 수 있는 수치적 해법을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 종단 제약 조건 집합 $ \mathcal{X}_f $ 가 없을 경우, 초기 상태 $ \boldsymbol{x}_0 = [7.3\ 10]^\top $ 를 가진 시뮬레이션에서 몇 번의 반복 후 MPC 최적화가 비가능해지며, 마지막 예측 상태가 상태 제약 조건을 위반함을 확인.
• 적절히 계산된 종단 제약 조건 집합 $ \mathcal{X}_f $ (MPT3 툴박스를 통해 최대 안정 집합으로 도출) 가 포함되면 순환 가능성이 복구되고 안정적인 장기적인 MPC 운영이 가능해짐.
• 종단 집합 $ \mathcal{X}_f $ 는 타당한 초기 상태 집합 $ \mathcal{X}_N $ 와 일치하며, 초기 상태 $ \boldsymbol{x}_0 = [7.3\ 10]^\top $ 는 이 집합의 경계 상에 위치하여 외부 요동에 민감함을 시사.
• 적용된 입력 $ u $ 는 초기에 입력 제약 조건의 한계인 $ -20 $ 에 도달하여 활성 제약 조건을 나타내며, 시스템이 원점으로 수렴함에 따라 비활성 상태로 전환됨.
• 시뮬레이션 결과는 종단 집합을 사용할 경우 매 시간 단계에서 마지막 예측 상태가 항상 $ \mathcal{X}_f $ 내에 유지되어 순환 가능성이 유지됨을 확인.
• 모든 예제와 그래프에 대한 MATLAB 코드는 https://github.com/placebovitamin/MPC-Tutorial 에 공개되어 있어 재현성과 실용적 구현을 지원.