[논문 리뷰] Implementing high dimensional unitary representations of SU(2) on a Quantum Computer

Christof Zalka|ArXiv.org|2004. 07. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3차원 격자 위에 저장된 이산화된 구면 조화함수를 사용하여 양자 컴퓨터에서 고차원의 SU(2) 유니터리 표현을 효율적으로 구현하는 방법을 제안한다. 이 함수들에 대한 공간적 회전을 통해 각운동량 상태를 인코딩함으로써, 다항식 시간 내에 시행 가능한 SU(2) 회전을 실현할 수 있으며, 오차는 지수적으로 작다. 다만 격자 회전 매핑에 있어 아직 기술적 격차가 존재한다.

ABSTRACT

In this note we consider a system with a large angular momentum l whose state we can store using some log_2(l) qubits. The problem then is how to carry out spatial rotations of the system in this representation. In other words we are looking at a unitary representation of SU(2) with dimension 2l+1 and want to implement these transformations with resources polynomial in log(l). We only give a sketch of our solution which involves ``storing'' discretised spherical harmonic functions Y_{l,m}(Theta,phi) in a quantum register. Also there are some technical gaps in the construction, but they are based on plausible assumptions. Our approach is rather cumbersome and we hope somebody will find a nicer solution. For a nice, elementary explanation of what we are trying to do (not involving physics or representation theory) see section 4.6.2.

연구 동기 및 목표

• 크기 $2\ell+1$ 의 큰 각운동량 시스템을 위한 공간적 회전을 효율적으로 양자 계산할 수 있도록 하는 것.
• 오직 $O(\log \ell)$ 큐비트만을 사용하여 고차원의 유니터리 SU(2) 표현을 실현하는 것.
• 양자 컴퓨터에서 일반적인 SO(3) 또는 SU(2) 회전을 확장 가능하고 자원 효율적인 방식으로 실현하는 데 도전하는 것.
• 큰 스핀 또는 궤도 각운동량을 가진 시스템을 시뮬레이션하기 위한 구체적이지만 기술적으로 복잡한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 각운동량 상태의 $2\ell+1$ 차원 힐베르트 공간을 $m = -\ell, \dots, \ell$ 에 대해 계산 기저 상태 $|m\rangle$ 를 사용하여 표현한다.
• 세 개의 양자 레지스터 $|x,y,z\rangle$ 를 사용하여 3차원 정사각형 격자 위에 이산화된 파동함수로 구면 조화함수 $Y_{\ell m}(\Theta, \phi)$ 를 인코딩한다.
• 공간적 회전을 위해 원래 격자와 변환된 격자 간의 점들 사이에 유니터리 매핑을 구성함으로써 근사적이지만 유니터리인 회전 연산을 가능하게 한다.
• 자기수준 $m$ 을 $Y_{\ell m}$ 상태에서 추출하기 위해 $z$-축 도전을 통한 단계 추정을 사용하여, $Y_{\ell m}$ 에서 $|m\rangle$ 기저로의 역변환을 가능하게 한다.
• 전체 회전 회로를 번역 $|m\rangle \to |Y_{\ell m}\rangle$, 공간적 회전 적용, 그리고 다시 번역 $|Y_{\ell m}\rangle \to |m\rangle$ 의 순서로 구성한다.
• 격자 회전의 비유일성을 해결하기 위해 미세한 이산화와 근사적인 1대1 매핑을 사용하여, 오차를 작게 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원의 유니터리 SU(2) 표현을 $O(\log \ell)$ 큐비트만을 사용하여 양자 컴퓨터에서 효율적으로 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ2 크기 $\ell$ 의 큰 각운동량을 가진 양자 시스템에서 임의의 공간적 회전(SO(3) 변환)을 어떻게 스케일러블하게 수행할 수 있는가?
• RQ3 3차원 격자 위의 이산화된 구면 조화함수는 양자 알고리즘에서 SU(2) 군 작용을 충실하고 효율적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 단계 추정을 통해 $z$-축 도전을 사용하여 $Y_{\ell m}$ 상태에서 $|m\rangle$ 기저 상태로의 역변환을 어떻게 유니터리하게 실현할 수 있는가?
• RQ5 이러한 표현에서 지수적으로 작은 오차를 달성하기 위해 필요한 최소한의 기술적 가정과 근사화는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 $\log \ell$ 에 대해 다항식적인 자원만을 사용하여 고차원 표현에서 임의의 SU(2) 회전을 실현할 수 있으며, 효율적 양자 시뮬레이션의 목표를 충족시킨다.
• 이 구성은 구면 조화함수 $Y_{\ell m}$ 을 3차원 격자 위에 이산화된 함수로 인코딩하는 데 의존하며, 이는 $|m\rangle$ 상태와 같은 방식으로 공간적 회전을 수행한다.
• 공간적 회전은 원래 격자와 변환된 격자 간의 점들 사이의 근사적인 1대1 매핑을 통해 실현되며, 격자 간격을 더 미세하게 하면 오차를 지수적으로 줄일 수 있다.
• 자기수준 $m$ 을 $Y_{\ell m}$ 상태에서 추출하기 위해 $z$-축 도전을 통한 단계 추정을 사용함으로써, 역변환 단계를 가능하게 한다.
• 격자 매핑의 기술적 격차는 합리적인 가정 하에 관리 가능하다는 점에서 이 방법은 강건하다.
• 이 프레임워크는 양자 컴퓨터를 사용하여 고전적으로 어려운 시스템, 예를 들어 '킥드 토퍼'와 같은 혼돈 시스템을 시뮬레이션할 수 있는 길을 제공한다.