[논문 리뷰] Implication Zroupoids and Identities of Associative Type

Juan M. Cornejo, Hanamantagouda P. Sankappanavar|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 29.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 길이 3인 연 associative 유형의 항등식으로 정의된 함의 zroupoid(I-zroupoid)의 부분다양체를 완전히 분류하며, 정확히 8개의 서로 다른 이러한 부분다양체가 존재함을 증명한다. 또한 대칭적 I-zroupoid에서 이러한 항등식으로부터 정확히 3개의 서로 다른 부분다양체가 유도되며, 이는 엄밀한 포함 체인(Boolean algebras ⊂ semilattices with least element ⊂ symmetric I-zroupoids)을 이룬다.

ABSTRACT

An algebra $\mathbf A = \langle A, o, 0 angle$, where $ o$ is binary and $0$ is a constant, is called an implication zroupoid ($\mathcal I$-zroupoid, for short) if $\mathbf A$ satisfies the identities: $(x o y) o z \approx [(z' o x) o (y o z)']'$ and $ 0'' \approx 0$, where $x' : = x o 0$, and $\mathcal I$ denotes the variety of all $\mathcal I$-zroupoids. An $\mathcal I$-zroupoid is symmetric if it satisfies $x'' \approx x$ and $(x o y')' \approx (y o x')'$. The variety of symmetric $\mathcal I$-zroupoids is denoted by $\mathcal S$. An identity $p \approx q$, in the groupoid language $\langle o angle$, is called an identity of associative type of length $3$ if $p$ and $q$ have exactly 3 (distinct) variables, say x,y,z, and are grouped according to one of the two ways of grouping: (1) $\star o (\star o \star)$ and (2) $(\star o \star) o \star$, where $\star$ is a place holder for a variable. A subvariety of $\mathcal I$ is said to be of associative type of length $3$, if it is defined, relative to $\mathcal I$, by a single identity of associative type of length $3$. In this paper we give a complete analysis of the mutual relationships of all subvarieties of $\mathcal I$ of associative type of length $3$. We prove, in our main theorem, that there are exactly 8 such subvarieties of $\mathcal I$ that are distinct from each other and describe explicitly the poset formed by them under inclusion. As an application of the main theorem, we derive that there are three distinct subvarieties of the variety $\mathcal S$, each defined, relative to $\mathcal S$, by a single identity of associative type of length $3$.

연구 동기 및 목표

• 길이 3인 연 associative 유형의 항등식으로 정의된 함의 zroupoid(I)의 부분다양체를 완전히 특성화하는 것.
• 이러한 부분다양체 간의 포함 관계를 규명하고 상호 구조를 설정하는 것.
• 이러한 항등식을 대칭적 I-zroupoid(S)의 부분다양체에 제한하여, S 내부의 서로 다른 부분다양체를 식별하는 것.
• 특정 항등식들, 예를 들어 (A1), (A11), (A14)이 이러한 부분다양체를 정의하는 데 수행하는 역할과 그 논리적 관계를 명확히 하는 것.
• I의 부분다양체 격자에 대한 열린 질문을 해결하기 위해, 이러한 특정 유형의 항등식에 대해 완전하고 명시적인 부분순서 집합(poset)의 구조를 제공하는 것.

제안 방법

• 함의 zroupoid(I-zroupoid)를 두 항등식 (I) (x→y)→z ≈ [(z′→x)→(y→z)′]′ 과 (I0) 0′′ ≈ 0 를 만족하는 대수 ⟨A, →, 0⟩로 정의하며, 여기서 x′ := x→0 이다.
• 길이 3인 연 associative 유형의 항등식 개념을 도입: 세 개의 서로 다른 변수를 (x→y)→z 또는 x→(y→z) 형태로 묶은 항등식으로, 총 14개의 가능한 항등식이 존재한다.
• 등식적 추론과 격자 이론적 기법을 사용하여 이러한 항등식으로 정의된 부분다양체 간의 포함 관계를 분석한다.
• 주요 정리(정리 4.2)를 적용하여 길이 3인 연 associative 유형의 14개의 가능한 항등식을 분류하고, 이들이 정확히 I의 8개의 서로 다른 부분다양체를 생성함을 증명한다.
• 분석을 대칭적 I-zroupoid(S)로 제한하며, S는 x′′ ≈ x 와 (x→y′)′ ≈ (y→x′)′ 를 만족하는 것으로 정의된다. 동일한 항등식으로 유도된 S의 부분다양체를 유도한다.
• 모델 이론적 추론과 반례(예: 4원소 대수)를 사용하여 엄밀한 포함 관계와 포함되지 않는 관계를 검증하며, 예를 들어 BA ⊈ S₁₄ 와 같은 경우를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 3인 연 associative 유형의 항등식으로 정의된 함의 zroupoid의 서로 다른 부분다양체는 총 몇 개인가?
• RQ2 이러한 부분다양체들이 함의 zroupoid의 다양체 내에서 완전한 포함 관계 구조(부분순서 집합)를 어떻게 형성하는가?
• RQ3 이러한 부분다양체 중에서 대칭적 함의 zroupoid의 부분다양체로 제한했을 때, 서로 다른 부분다양체는 몇 개인가?
• RQ4 부울 대수의 다양체와 연 associative 유형 항등식으로 정의된 대칭적 함의 zroupoid의 부분다양체 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 I와 S에서 동일한 부분다양체를 정의하는 연 associative 유형의 항등식이 존재하는가? 만약 존재한다면, 그들은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 길이 3인 연 associative 유형의 항등식으로 정의된 함의 zroupoid(I)의 부분다양체는 정확히 8개 존재한다.
• 이 8개의 부분다양체가 형성하는 부분순서 집합(poset)은 완전한 포함 계층을 이룬다. 최소 원소는 최소 원소를 가진 반순서집합(SL)이며, 최대 원소는 전체 다양체 I이다.
• 대칭적 I-zroupoid(S)로 제한했을 때, 길이 3인 연 associative 유형의 항등식으로부터 도출되는 서로 다른 부분다양체는 총 3개이다: SL, S₁₄, S.
• 이 세 부분다양체는 엄밀한 포함 체인 SL ⊂ S₁₄ ⊂ S 를 만족하며, S₁₄는 진중간 부분다양체이다.
• 부울 대수의 다양체(BA)는 4원소 대수의 반례로 인해 S₁₄에 포함되지 않음을 보였다.
• 부분다양체 S₁₄는 항등식 (A14): (x→y)→(z→x) ≈ (x→z)→(y→x) 로 정의되며, SL과 S 사이에 엄밀히 끼쳐진다.