[논문 리뷰] Implicit Euler numerical simulations of sliding mode systems

Vincent Acary, Bernard Brogliato|ArXiv.org|2009. 04. 10.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 49인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 슬라이딩 모드 시스템에 대한 강건한 수치 이산화 방법으로 암시적 오일러 방법을 제안하며, 슬라이딩 표면에서 궤적과 도함수의 정확한 안정화 능력을 입증한다—이는 명시적 방법에서 흔히 발생하는 부작용적인 채터링을 제거한다. 이 방법은 이벤트 축적(젠오 현상)과 다중 스위칭 표면(여부수 ≥2)을 처리할 수 있으며, 슬라이딩 모드 제어의 본질적인 비연속성 특성을 유지하면서도 명시적 방법에 비해 훨씬 뛰어난 수치적 안정성과 정확성을 제공한다.

ABSTRACT

In this report it is shown that the implicit Euler time-discretization of some classes of switching systems with sliding modes, yields a very good stabilization of the trajectory and of its derivative on the sliding surface. Therefore the spurious oscillations which are pointed out elsewhere when an explicit method is used, are avoided. Moreover the method (an {\em event-capturing}, or {\em time-stepping} algorithm) allows for accumulation of events (Zeno phenomena) and for multiple switching surfaces (i.e., a sliding surface of codimension $\geq 2$). The details of the implementation are given, and numerical examples illustrate the developments. This method may be an alternative method for chattering suppression, keeping the intrinsic discontinuous nature of the dynamics on the sliding surfaces. Links with discrete-time sliding mode controllers are studied.

연구 동기 및 목표

• 슬라이딩 모드 시스템의 명시적 시간 이산화에서 발생하는 부작용적인 채터링과 수치적 불안정성 문제를 해결하기 위해.
• 필리포프 시스템의 본질적인 비연속 동역학을 유지하는 시간단계 수치 방법을 개발하기 위해.
• 다중 스위칭 표면(여부수 ≥2)과 이벤트 축적(젠오 현상)을 포함한 시스템의 정확한 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 슬라이딩 모드 제어의 본질적 특성을 훼손하는 경향이 있는 경계층 또는 필터링 기반 채터링 억제 기법의 대안으로 안정적이고 암시적인 대체 방법을 제공하기 위해.
• 연속시간 슬라이딩 모드 제어와 이산시간 구현 간 격차를 메우기 위해 암시적 오일러 스킴을 제로오더홀드(ZOH) 이산화와 연결하기 위해.

제안 방법

• 슬라이딩 모드 시스템을 나타내는 필리포프의 미분포함수에 암시적 오일러 방법을 적용하여, 부드러운 동역학의 조건부 안정적 통합을 보장한다.
• 다중값 함수 sgn를 효과적으로 포착하기 위해 슬랙 변수(보조 변수)를 활용한 다중선형 보완문제(MLCP)로 스위칭 로직을 재구성한다.
• 알고리즘은 이벤트 포착(시간단계) 방식으로 구현되어, 매 단계에서 이벤트 탐지를 요구하지 않더라도 다수의 밀도 있는 스위칭 이벤트를 처리할 수 있다.
• 적절한 가정 하에 최대 단조성 사상과 보완 이론을 활용하여 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 이 방법은 ZOH 이산화 시스템으로 확장되어, 암시적 오일러 시간 이산화와 이산시간 슬라이딩 모드 제어 설계 간의 등가성을 입증한다.
• 수치적 구현은 각 시간 단계에서 암시 방정식을 해결하기 위해 반연속 뉴턴 방법을 사용하여 강건한 수렴성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 암시적 오일러 방법은 명시적 방법과 달리 슬라이딩 모드 시스템 수치 시뮬레이션에서 부작용적인 채터링을 제거할 수 있는가?
• RQ2 암시적 오일러 스킴은 여부수 ≥2인 슬라이딩 표면에서 궤적과 그 도함수의 안정화에 얼마나 잘 작용하는가?
• RQ3 이 방법은 유한 시간 내에 무한한 스위칭이 발생하는 젠오 현상(무한 스위칭)을 수치적 붕괴 없이 어느 정도까지 처리할 수 있는가?
• RQ4 암시적 오일러 접근법은 필터링 또는 경계층 기법과 달리 슬라이딩 모드 제어의 본질적인 비연속 동역학을 유지하는가?
• RQ5 이산시간 슬라이딩 모드 제어 설계에서 안정성과 정확성 측면에서 ZOH 이산화와 비교해 볼 때 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 암시적 오일러 방법은 큰 시간 간격(예: h = 0.1)에서도 슬라이딩 표면에서 상태와 그 도함수의 부드럽고 정확한 안정화를 달성하며, 관측된 채터링이 전혀 없었다.
• 이 방법은 두 개의 스위칭 표면을 포함한 필리포프 예제와 같이 여부수 ≥2인 시스템을 성공적으로 처리하였으며, 진동 없이 원점 수렴을 달성하였다.
• 이 방법은 젠오 현상의 시뮬레이션을 가능하게 하였으며, 수치적 발산 없이도 수치적으로 안정된 결과를 보였다.
• 암시적 시간 이산화 파rameter θ의 선택은 안정성에 크게 영향을 미친다: θ = 1(역오일러)은 조건부 안정성을 보장하지만, θ = 0(명시적 오일러)는 h = 0.01일 때 불안정성을 초래한다.
• θ = 1/2를 사용할 경우 부드러운 동역학 부분의 수치 정확도가 향상되지만, 다중값 항의 완전한 암시적 처리로 인해 전체적으로 2차 수렴을 달성하지 못한다.
• 관측기 기반 SMC에서는 낮은 샘플링 주기(10 Hz)에서도 채터링 없는 제어 신호와 빠른 오차 수렴을 제공하여 강건성과 실용적 타당성을 확인하였다.