[논문 리뷰] Implicit Higher-Order Moment Matching Technique for Model Reduction of Quadratic-bilinear Systems

Mian Mohammad Arsalan Asif, Mian Ilyas Ahmad외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 21인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다변수 전이 함수의 첫 번째부터 세 번째까지를 단순화된 정규 형식으로 확장하여 이차-이차선형 시스템의 모델 차원 축소를 위한 암묵적 고차 모멘트 매칭 기법을 제안한다. 이 방법은 투영 행렬 구성 시 비선형 시스템 행렬(N 및 H)을 통합함으로써 정확도를 향상시키며, 기존 기법들에 비해 더 낮은 계산 비용으로 더 나은 순차적 차원 축소 모델을 달성한다.

ABSTRACT

We propose a projection based multi-moment matching method for model order reduction of quadratic-bilinear systems. The goal is to construct a reduced system that ensures higher-order moment matching for the multivariate transfer functions appearing in the input-output representation of the nonlinear system. An existing technique achieves this for the first two multivariate transfer functions, in what is called the symmetric form of the multivariate transfer functions. We extend this framework to an equivalent and simplified form, the regular form, which allows us to show moment matching for the first three multivariate transfer functions. Numerical results for three benchmark examples of quadratic-bilinear systems show that the proposed framework exhibits better performance with reduced computational cost in comparison to existing techniques.

연구 동기 및 목표

• 유체역학, VLSI 회로, 생물학적 과정 등에서 발생하는 대규모 이차-이차선형 시스템에서 정확하고 저비용의 모델 차원 축소가 요구됨을 해결하기 위해.
• 기존의 모멘트 매칭 기법이 대칭 형식에서 첫 번째 두 개의 다변수 전이 함수만 매칭할 수 있는 한계를 극복하기 위해.
• 전이 함수의 단순화된 정규 형식을 도입하여 모멘트 매칭을 첫 번째부터 세 번째 다변수 전이 함수로 확장하기 위해.
• 투영 행렬 V와 W의 구성에 이차선형(N) 및 이차형(H) 시스템 행렬을 통합함으로써 근사 품질을 향상시키기 위해.
• 기존 기법들인 IMM, IGMM-s, IGMM-r2와 비교하여 뛰어난 성능과 낮은 계산 비용을 보여주기 위해.

제안 방법

• 이전 연구에서 사용된 대칭 형식의 대체로 단순화되고 동등한 정규 형식의 다변수 전이 함수를 활용한다.
• 정규 형식의 첫 번째부터 세 번째 다변수 전이 함수에 일반화된 다중 모멘트 매칭을 적용하여 고차 모멘트 매칭을 가능하게 한다.
• 전이 함수에서 유도된 시스템 행렬 A, N, H, B, C 및 보간 점을 사용하여 투영 행렬 V와 W를 구성한다.
• W가 생성하는 시험 부분공간에 대해 잔차를 수직으로 만들도록 하여 Petrov-Galerkin 조건을 확보한다.
• 투영을 통한 순차적 차원 축소 시스템을 구성한다: Ê = Wᵀ E V, Â = Wᵀ A V, N̂ = Wᵀ N V, Ĥ = Wᵀ H (V⊗V), B̂ = Wᵀ B, Ĉ = C V.
• 정규 형식의 구조를 활용하여 모멘트 매칭 계산을 단순화하고 수치적 효율성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 두 전이 함수를 초월하여 고차 모멘트 매칭을 가능하게 하기 위해 다변수 전이 함수 표현을 단순화할 수 있는가?
• RQ2 투영 행렬 구성에 이차선형(N) 및 이차형(H) 행렬을 통합하면 순차적 차원 축소 모델의 정확도가 향상되는가?
• RQ3 첫 번째부터 세 번째 다변수 전이 함수를 매칭하는 것과 첫 번째 두 개만 매칭하는 것의 정확도 오차 및 계산 비용 측면에서의 비교는 어떻게 되는가?
• RQ4 제안된 방법은 기준 이차-이차선형 시스템에 대해 기존 기법들인 IMM, IGMM-s, IGMM-r2보다 더 나은 순차적 차원 축소 모델을 달성할 수 있는가?
• RQ5 고차 모멘트 매칭이 다양한 입력 신호와 시스템 유형에서 순차적 모델의 안정성과 정확도에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법인 IGMM-r3는 정규 형식을 사용함으로써 대칭 형식에 비해 수학적 구조가 단순화된 첫 번째부터 세 번째 다변수 전이 함수에 대해 고차 모멘트 매칭을 달성한다.
• IGMM-r3는 기존 기법들보다 유의미하게 낮은 근사 오차를 보이며, RC-회로 예제에서는 최대 상대 오차 0.0007(비교 기준 IMM-s2는 0.0083)을 달성했고, 버거스 방정식에서는 0.0063(비교 기준 0.0377)의 오차를 기록했다.
• 고차 도함수의 사용을 피하고 정규 형식에 기반한 더 효율적인 행렬 구성 과정을 활용함으로써 계산 비용을 감소시켰다.
• 피츠휴-나구모 시스템의 경우, IGMM-r3는 차수 24의 순차적 모델을 생성하였고, 이는 IMM-s2가 차수 16를 초월해 불안정해지는 것과는 대비되게 최대 절대 오차가 한 단계 낮았다.
• 투영 행렬 구성에 N 및 H 행렬을 통합함으로써 출력 응답 및 3D 플롯에서의 리미트 사이클 행동에서 더 나은 일치를 보이며 더 정확한 순차적 모델이 도출됨을 입증하였다.
• 세 번째 전이 함수를 매칭함으로써 정확도가 크게 향상되었으며, 이는 RC-회로, 버거스 방정식, 피츠휴-나구모 시스템의 세 가지 기준 예제에서 최대 오차가 일관되게 감소한 것으로 확인되었다.