[논문 리뷰] Implicit Linear Algebra and its Applications

Hariharan Narayanan|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 22.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전기 회로를 포함한 동적 시스템을 모델링하기 위해 해공간과 선형 관계를 사용하는 암묵적 선형 대수의 프레임워크를 제안한다. 암묵적 행렬 역행렬 정리와 암묵적 쌍대성 정리를 수립함으로써, 전통적인 상태공간 표현에 의존하지 않고도 계산적으로 효율적이고 위상적으로 정보를 반영한 제어 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Linear systems often involve, as a basic building block, solutions of equations of the form \begin{align*} A_Sx_S&+A_Px_P =0\\ A'_Sx_S & =0, \end{align*} where our primary interest might be in the vector variable $x_P.$ Usually, neither $x_S$ nor $x_P$ can be written as a function of the other but they are linked through the linear relationship, that of $(x_S,x_P) $ belonging to $\mathcal{V}_{SP},$ the solution space of the first of the two equations. If $\mathcal{V}_{S}$ is the solution space of the second equation, we may regard the final space of solutions $\mathcal{V}_{P}$ as derived from the other two spaces by an operation, say, `$\mathcal{V}_{P}=\mathcal{V}_{SP}\leftrightarrow \mathcal{V}_{S}.$' This operation, together with linear relationships, can be used to build a version of linear algebra which we call `implicit linear algebra'. There are two basic results - an `implicit inversion theorem' which describes when $\mathcal{V}_{S}$ can be obtained from $\mathcal{V}_{P}$ and $\mathcal{V}_{SP},$ and an `implicit duality theorem' which says $\mathcal{V}_{P}^{\bot}=\mathcal{V}_{SP}^{\bot}\leftrightarrow \mathcal{V}_{S}^{\bot}.$ These notions originally arose in the building of circuit simulators. They have been reinterpreted for the present purpose. Using them, we develop an algorithmic version of linear multivariable control theory, avoiding the computationally expensive idea of state equations. We replace them by `emulators', which are easy to build, but can achieve most of whatever can be done with state equations. We define the notions of generalized autonomous systems and generalized operators, and develop a primitive spectral theory for the latter. Using these ideas, we develop the usual controllability - observability duality, state and output feedback, pole placement etc.

연구 동기 및 목표

• 행렬이나 변환 대신 해공간과 선형 관계에 기반한 선형 대수의 버전을 개발하여 복잡한 동적 시스템을 모델링하는 것.
• 다변수 제어에서 전통적인 상태공간 방법의 계산 비효율성을 해결하기 위해 상태 방정식을 '에뮬레이터'—다른 변수 수를 가진 시스템 간의 관계를 암묵적으로 표현한 것—로 대체하는 것.
• 암묵적 역행렬 정리와 암묵적 쌍대성 정리와 같은 기초 정리를 수립하여, 명시적인 상태 변수 없이도 쌍대성과 가용성 분석을 가능하게 하는 것.
• 위상적 제약(기브스의 법칙 등)이 자연스럽게 해공간을 만들어내는 전기 회로에서 이 프레임워크의 유용성을 입증하는 것.
• 일반화된 연산자에 대한 원시 스펙트럼 이론을 구축하고, 일반화된 자율 시스템을 정의하여 암묵적 설정에서 제어이론적 개념을 통합하는 것.

제안 방법

• 시스템의 행동을 $\mathcal{V}_{SP}$, $\mathcal{V}_S$, $\mathcal{V}_P$로 표현하며, 여기서 $x_P$는 관심 있는 변수이고, 선형 제약 조건을 통해 연결된다.
• 행렬 역행렬을 대체하기 위해 $\mathcal{V}_P = \mathcal{V}_{SP} \leftrightarrow \mathcal{V}_S$라는 새로운 연산을 도입하여 $\mathcal{V}_P$를 $\mathcal{V}_{SP}$와 $\mathcal{V}_S$에서 유도한다.
• 에뮬레이터를 암묵적 시스템 관계 표현으로 정의하여 상태 방정식을 일반화하고, 서로 다른 변수 수를 가진 시스템 간의 연결을 가능하게 한다.
• 암묵적 쌍대성 정리 $\mathcal{V}_P^\perp = \mathcal{V}_{SP}^\perp \leftrightarrow \mathcal{V}_S^\perp$를 적용하여 원래 시스템과 수반 시스템 간의 해공간 수준에서의 직접적 쌍대성을 확립한다.
• 네트워크의 위상적 분해(예: 다중포트)를 통해 연계 공간을 정의하고 전압, 전류, 흐름/전하 변수 간의 관계를 유도한다.
• 암묵적 역행렬 정리를 적용하여 $\mathcal{V}_S$를 $\mathcal{V}_P$와 $\mathcal{V}_{SP}$로부터 복원함으로써 시스템 분석에서 역방향 추론이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해공간과 선형 관계에 기반한 선형 대수의 재구성은 행렬 대신 상호연결된 시스템을 더 잘 모델링할 수 있는가?
• RQ2 해공간 간의 관계만을 사용하여 명시적인 상태 방정식 없이도 가용성과 관측 가능성을 분석할 수 있는가?
• RQ3 위상적 구조(예: 기브스의 법칙 등)는 시스템 행동의 암묵적 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 수반 행렬에 의존하지 않고도 해공간의 쌍대성에서 제어 시스템의 쌍대성을 순수하게 유도할 수 있는가?
• RQ5 에뮬레이터는 전통적인 상태공간 모델에 비해 시스템 동역학을 포괄하고 피드백 설계를 가능하게 하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 암묵적 역행렬 정리는 $\mathcal{V}_S$가 $\mathcal{V}_P$와 $\mathcal{V}_{SP}$로부터 재구성될 수 있는 조건을 제공하여, 시스템 제약 조건의 역방향 분석을 가능하게 한다.
• 암묵적 쌍대성 정리 $\mathcal{V}_P^\perp = \mathcal{V}_{SP}^\perp \leftrightarrow \mathcal{V}_S^\perp$는 원래 시스템과 수반 시스템 간의 해공간 수준에서 직접적인 쌍대성을 확립한다.
• 대칭 정정 행렬 원소(예: 커패시터, 인덕터)의 경우 수반 시스템에서 $q_{P_C} = K_C^T q_C$ 및 $\psi_{P_L} = K_L^T \psi_L$를 얻어 전하 및 흐름 변수 간에 깔끔한 쌍대성이 존재함을 보여준다.
• 수반 시스템의 에뮬레이터는 원래 시스템의 에뮬레이터의 수반과 일치하여, 표현 간의 쌍대성 일관성이 확인된다.
• 수반 시스템의 해공간 $\mathcal{V}^{astat}$는 $\mathcal{V}^{astat} = (\mathcal{V}^i(\mathcal{G}^{\prime}{}^{\text{stat}})) \leftrightarrow (\mathcal{V}^v(\mathcal{G}^{\prime}{}^{\text{stat}})) \leftrightarrow \{-Ri'_R = v'_R\}$로 명시적으로 구성되며, 다중포트 데이터로부터 유도됨을 보여준다.
• 연계 공간 $\mathcal{V}^1_{W'P'}$는 원래 시스템의 연계 공간의 직교 보완으로 유도되어 원래 및 수반 표현 간의 일관성을 확인한다.