[논문 리뷰] Implicitization of rational maps

Nicolás Botbol|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 07.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 학위논문은 이차형 다항식의 기저 이상의 다항식을 사용하여 암시적 방정식을 효율적으로 계산할 수 있도록, 토릭 콪팩티피케이션을 통한 근사 복합체를 이용한 유리 사상의 암시화를 위한 새로운 방법을 개발한다. 기저 이상의 대칭 대수를 해결하고, 그레디에이션 링에서 캐스트엘누오-무디 포지티브 정규성 이론을 활용함으로써, 암시적 방정식을 복합 사상의 행렬식으로 계산한다. 이 과정에서 degree $uf$에 대한 명시적 상한을 제공함으로써, 여분의 인자들의 정확성과 기하학적 의미를 보장한다.

ABSTRACT

Motivated by the interest in computing explicit formulas for resultants and discriminants initiated by Bézout, Cayley and Sylvester in the eighteenth and nineteenth centuries, and emphasized in the latest years due to the increase of computing power, we focus on the implicitization of hypersurfaces in several contexts. Our approach is based on the use of linear syzygies by means of approximation complexes, following [Busé Jouanolou 03], where they develop the theory for a rational map $f:P^{n-1}\dashrightarrow P^n$. Approximation complexes were first introduced by Herzog, Simis and Vasconcelos in [Herzog Simis Vasconcelos 82] almost 30 years ago. The main obstruction for this approximation complex-based method comes from the bad behavior of the base locus of $f$. Thus, it is natural to try different compatifications of $A^{n-1}$, that are better suited to the map $f$, in order to avoid unwanted base points. With this purpose, in this thesis we study toric compactifications $T$ for $A^{n-1}$. We provide resolutions $Z.$ for $Sym_I(A)$, such that $\det((Z.)_ν)$ gives a multiple of the implicit equation, for a graded strand $ν\gg 0$. Precisely, we give specific bounds $ν$ on all these settings which depend on the regularity of $\SIA$. Starting from the homogeneous structure of the Cox ring of a toric variety, graded by the divisor class group of $T$, we give a general definition of Castelnuovo-Mumford regularity for a polynomial ring $R$ over a commutative ring $k$, graded by a finitely generated abelian group $G$, in terms of the support of some local cohomology modules. As in the standard case, for a $G$-graded $R$-module $M$ and an homogeneous ideal $B$ of $R$, we relate the support of $H_B^i(M)$ with the support of $Tor_j^R(M,k)$.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법에 비해 계산이 어려운 유리 사상 $f: \mathbb{A}^{n-1} \dashrightarrow \mathbb{A}^n$ 의 암시화 문제를 해결하기 위해.
• 기본 위치의 악성 거동으로 인해 근사 복합체 방법이 제한당하는 문제를 토릭 콩팩티피케이션을 통해 도메인을 콩팩티피케이션함으로써 극복하기 위해.
• 암시적 방정식의 배수를 형성하는 $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$를 얻기 위한 명시적 degree 상한 $\nu$ 를 제공하기 위해.
• 유한 생성 아벨 군에 의해 그레디에이션된 다항식 링에 대해 캐스트엘누오-무디 포지티브 정규성을 일반화하기 위해, 국소 코hom로지와 Tor 모듈을 사용하기 위해.
• 행렬식 계산 과정에서 나타나는 여분의 인자들의 기하학적 의미를 제공하기 위해.

제안 방법

• 기본 이상의 대칭 대수 $\mathrm{Sym}_A(I)$ 를 기반으로 한 근사 복합체를 사용하여, 기본 이상을 블로잉업한 후의 리즈 대수 $\mathrm{Rees}_A(I)$ 를 근사하기 위해.
• 기본 점을 더 잘 제어하기 위해, $\mathbb{A}^{n-1}$ 의 토릭 콩팩티피케이션 $\mathscr{T}$ 를 사용하며, 프로젝티브 공간에 임bedded 되었을 때와 코엑스 링을 통한 표현 방식을 모두 고려한다.
• 서로 다른 분모를 가진 유리 사상을 다루기 위해, 공역을 $(\mathbb{P}^1)^n$ 으로 콩팩티피케이션한다.
• 기본 이상의 대칭 대수 $\mathrm{Sym}_A(I)$ 의 해상도 $\mathcal{Z}_\bullet$ 를 구성하고, $\nu \gg 0$ 에서 $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ 를 계산하여 암시적 방정식의 배수를 도출한다.
• 암시적 방정식이 정확히 포착되도록, $\mathrm{Sym}_A(I)$ 의 캐스트엘누오-무디 포지티브 정규성에 기반한 $\nu$ 의 상한을 설정한다.
• 코엑스 링의 그레디에이션 구조와 국소 코호몰로지 모듈을 사용하여, $G$-그레디에이션 링에 대해 일반화된 정규성 이론을 정의하고, $H^i_B(M)$ 과 $\mathrm{Tor}^R_j(M,k)$ 의 지지부를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 근사 복합체 방법을 기본 위치의 행동이 불량한 유리 사상에 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{A}^{n-1}$ 의 어떤 토릭 콩팩티피케이션은 암시화 과정에서 기본 점을 더 잘 제어할 수 있는가?
• RQ3 어떤 degree 상한 $\nu$ 가 $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ 가 암시적 방정식의 배수를 형성하는가?
• RQ4 캐스트엘누오-무디 포지티브 정규성은 어떻게 유한 생성 아벨 군에 의해 그레디에이션된 다항식 링으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ 에 나타나는 여분의 인자들의 기하학적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 이 방법은 $\mathrm{Sym}_A(I)$ 의 해상도의 오른쪽 끝 맵의 행렬식으로 암시적 방정식을 계산하며, 정확성을 보장하는 명시적 degree 상한 $\nu$ 를 제공한다.
• 연구된 예시에서, degree $\nu = (5,2,3)$ 에서 행렬 $N$ 의 행렬식은 암시적 방정식의 배수를 형성하며, 매개변수 방정식의 대입을 통해 검증되었다.
• 행렬식 내의 여분의 인자는 기하학적으로 해석 가능하며, 기본 위치와 블로잉업의 구조에서 기인한다.
• 일반화된 정규성 이론은 국소 코호몰로지 모듈 $H^i_B(M)$ 과 $\mathrm{Tor}$ 모듈의 지지부를 연결하며, 고전 결과를 $G$-그레디에이션 링으로 확장한다.
• 단일 행렬식에서 직접 암시적 방정식을 추출함으로써, GCD 계산의 고비용을 피하고, 매개변수 방정식의 대입을 통해 검증되었다.
• 공역을 $(\mathbb{P}^1)^n$ 으로 콩팩티피케이션함으로써, 서로 다른 분모를 가진 유리 사상에 대해서도 이 방법은 효과적이다.