[논문 리뷰] Implied volatility explosions: European calls and implied volatilities close to expiry in exponential Lévy models

Michael Roper|ArXiv.org|2008. 09. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 지수 레비 모델에서 유럽형 콜옵션 가격과 임의의 변동성의 소시간 만기 행동을 분석한다. 옵션 가격이 내재 가치에서 벗어나는 정도가 만기까지의 시간에 비례하여 선형적으로 증가하며, 그 비율은 레비 측도에 의해 결정됨을 입증한다. 이는 근접한 만기 시점에서의 임의의 변동성의 무한대 발산을 초래하며, 특히 균형가에서 벗어난 경우에 해당된다. 이 결과는 점프를 포함한 레비 과정에 대해 일반적인 조건 하에서도 성립한다.

ABSTRACT

We examine the small expiry behaviour of European call options in stock price models of exponential Lévy type. In most cases of interest, we are able to identify the exact small expiry asymptotics. In "complete generality" we are able to show that the time value of the call option has O(τ) decay as τ(time to expiry) goes to zero. Using our results on the behaviour of call options close to expiry we show that implied volatility explodes as $τ o0^+$ in "most" exponential Lévy models. Attention is restricted to calls and implied volatilities that are not at-the-money.

연구 동기 및 목표

• 지수 레비 모델에서 유럽형 콜옵션 가격의 소시간 만기 행동을 이해하기 위해.
• 만기까지의 시간이 0에 수렴할 때 임의의 변동성이 발산하는 조건을 규명하기 위해.
• 부드러운 레비 밀도를 요구하는 기존 점근 결과를 초월하여, 옵션 가격과 임의의 변동성에 대한 점근 결과를 일반화하기 위해.
• 특히 근본가에서 벗어난 행사가에 대해, 레비 측도를 기반으로 한 옵션 가격의 정밀한 점근 행동을 규명하기 위해.
• 만기 수렴 시 대부분의 지수 레비 모델에서 임의의 변동성이 무한대가 되는 것을 엄밀히 증명하기 위해, 조건부 점프가 존재하더라도 마찬가지임을 입증함.

제안 방법

• 마틴갈 측도 하에서 $ S_\tau = S_0 e^{X_\tau} $ 를 사용하며, $ X $ 는 레비 측도 $ \nu $ 를 가진 레비 과정임.
• 적절한 함수 $ f $ 에 대해 일반화된 극한 결과 $ \lim_{\tau \to 0^+} \frac{1}{\tau} \mathbb{E}[f(X_\tau)] = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, \nu(dx) $ 를 적용하며, 유계성 또는 연속성 조건을 초월함.
• $ S_0 < K $ 일 때 $ c(x) = (S_0 e^x - K)^+ $ 과 $ S_0 > K $ 일 때 $ p(x) = (K - S_0 e^x)^+ $ 를 분석하여, 점근 결과에 필요한 적분 가능성 및 정규성 조건을 만족함을 보임.
• 주요 항의 점근 전개를 유도함: $ S_0 < K $ 일 때 $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $, $ S_0 > K $ 일 때도 동일하게 유사한 형태로 유도됨.
• 점근적 옵션 가격 행동을 이용하여, 블랙-숄즈 공식과 연결함으로써 임의의 변동성의 발산을 유추함. 이는 $ \tau \to 0^+ $ 에서 임의의 변동성 매개변수가 발산하기 때문임.
• 랜도우의 big-O 및 little-o 표기법을 사용하여 점근 행동을 체계적으로 기술하고, 레비 과정에 대한 최소한의 가정 하에서도 결과를 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 레비 모델에서 만기까지의 시간이 0에 수렴할 때, 유럽형 콜옵션의 가격은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 점프를 포함한 모델에서 만기가 0에 수렴할 때, 어떤 조건에서 임의의 변동성이 발산하는가?
• RQ3 레비 측도 $ \nu $ 가 밀도를 갖지 않더라도, 옵션 가격의 점근 행동을 레비 측도의 형태로 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 임의의 변동성은 항상 만기 이전에 유한한가, 그리고 언제 $ \tau \to 0^+ $ 에서 발산하는가?
• RQ5 옵션 가격이 내재 가치로 수렴하는 정확한 속도는 무엇이며, 이는 행사가가 현물가 대비 어떻게 달라지느냐에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• $ S_0 < K $ 일 때, 레비 과정에 대한 약한 조건 하에서 $ \mathbb{E}[(S\_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $ 가 $ \tau \to 0^+ $ 일 때 성립함.
• $ S_0 > K $ 일 때, 동일한 점근적 형태로 $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (K - S_0 e^x)^+ \, \nu(dx) $ 가 $ \tau \to 0^+ $ 일 때 성립함.
• 정규성 가정이 없더라도, 가격의 편차는 여전히 $ \mathcal{O}(\tau) $ 이며, 정확한 비율은 레비 측도에 따라 달라짐.
• 대부분의 지수 레비 모델에서, 예를 들어 변동성 게이밍, NIG, CGMY, 메이크너, 일반화된 하이퍼볼릭, 정규 온화된 스테이블 과정 등에서 임의의 변동성은 $ \tau \to 0^+ $ 에서 무한대가 됨.
• 이 발산은 레비 측도가 0에서 멀리 떨어진 곳에서 양의 밀도를 가질 경우, 블랙-숄즈 공식의 임의의 변동성 매개변수가 선형- $ \tau $ 의 옵션 가격 편차를 따라가기 위해 무한대가 되어야 하기 때문에 발생함.
• 모든 $ \tau > 0 $ 에서는 임의의 변동성이 유한하지만, 레비 측도가 비퇴화되어 있으면서 유한한 변동성 점프가 존재하는 모델이라도 $ \tau \to 0^+ $ 의 극한에서 발산함.