[논문 리뷰] Impredicative Encodings of (Higher) Inductive Types

Steve Awodey, Jonas Frey외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 종속형 이론에서 인덕티브 및 고차 인더크티브 유형의 불완전한 표현을 유형 이론적 방법으로 정제하여, 항등형을 통해 정규성과 다이나믹한 제거를 내재화함으로써 $η$-규칙을 복원하고, 다이나믹한 제거를 가능하게 한다. 핵심 기여는 불완전한 표현에 대해 증명 가능하고 내재화된 $η$-등치성으로, 자연수나 원 $ℂ^1$ 및 1-트렁케이션과 같은 고차 인더크티브 유형을 위한 완전한 다이나믹한 제거자를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Postulating an impredicative universe in dependent type theory allows System F style encodings of finitary inductive types, but these fail to satisfy the relevant η-equalities and consequently do not admit dependent eliminators. To recover η and dependent elimination, we present a method to construct refinements of these impredicative encodings, using ideas from homotopy type theory. We then extend our method to construct impredicative encodings of some higher inductive types, such as 1-truncation and the unit circle S1.

연구 동기 및 목표

• 불완전한 표현이 유형 이론에서 $η$-규칙을 충족하지 못하고 다이나믹한 제거가 불가능한 오랜 문제를 해결하기 위해.
• 자연수와 이진 합과 같은 유한 인더크티브 유형의 $η$-등치성과 다이나믹한 제거자를 복원하기 위해.
• 호모토피 유형 이론 원리를 사용하여 1-트렁케이션과 단위 원 $ℂ^1$와 같은 고차 인더크티브 유형으로 이 방법을 확장하기 위해.
• 외부 모델이나 의미론에 의존하지 않고, 완전히 내재화된, 유형 이론적 정제를 제공하기 위해.
• 실현 가능성과 군표 모델을 사용하여 정제된 표현의 일관성과 모델 이론적 기초를 확립하기 위해.

제안 방법

• 항등형을 사용하여 불완전한 표현을 정제하여, 정규성과 다이나믹성을 내재화하고, 제안적 $η$-등치성을 보장한다.
• 유형 이론 버전의 Yoneda 보조정리를 적용하여 $A + B$와 같은 비재귀적 유형의 $η$-규칙을 복원한다.
• 인더크티브 유형의 다이나믹한 제거를 지원하는 방식으로, 불완전한 표현을 통해 초기 대수를 구성한다.
• 호모토피 유형 이론에서의 $0$-유형과 $n$-유형 개념을 사용하여, 이 방법을 $1$-유형과 고차 인더크티브 유형으로 일반화한다.
• $0$-유형 수준에서 항등형 증명의 유일성(UMIP)을 활용하여, 제안적 $η$-등치성에서 다이나믹한 제거자를 유도한다.
• 소형 합과 항등형을 포함하는 불완전한 유니버스 $Σ$를 갖는 유형 이론에서 표현을 형식화하여, 일관성과 보편성에 대한 내재적 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유형 이론 내에서 불완전한 표현이 자연수와 같은 유한 인더크티브 유형의 $η$-규칙과 다이나믹한 제거를 충족하도록 정제할 수 있는가?
• RQ2 외부 모델에 의존하지 않고, 유형 이론에서 정규성과 다이나믹성을 내재화하여 $η$-등치성을 복원할 수 있는가?
• RQ3 이 방법을 1-트렁케이션과 단위 원 $ℂ^1$와 같은 고차 인더크티브 유형으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 $n > 1$인 $n$-유형으로 이 방법을 일반화하기 위해 필요한 일관성 조건은 무엇이며, 이는 탐색 가능한가?
• RQ5 실현 가능성 모델과 군표 모델에서 정제된 표현의 일관성 강도와 모델 이론적 정당성은 무엇인가?

주요 결과

• 정제된 불완전한 표현은 제안적 $η$-등치성을 만족하며, 이는 [AGS12, AGS17]에서 보여진 바와 같이 다이나믹한 제거자를 도출하는 데 충분하다.
• 자연수 $ℕ$를 $∀ X. olinebreak (X \to X) \to X \to X$로 표현한 것은 항등형을 통한 정제를 통해 다이나믹한 제거를 지원하도록 개선되었다.
• 이진 합 $A + B$는 불완전하게 표현되며, Yoneda 스타일의 추론을 통해 $η$-규칙을 복원한다.
• 이 방법은 유형의 1-트렁케이션과 단위 원 $ℂ^1$을 고차 인더크티브 유형으로 불완전한 구성으로 성공적으로 표현한다.
• 표현은 트렁케이션 수준에서 안정적이다. 예를 들어, $ℕ$ 표현은 1-유형 환경에서 구성되어도 여전히 $0$-유형으로 유지된다.
• 소형 합과 항등형을 포함하는 불완전한 유니버스를 갖는 실현 가능성 모델은 시스템을 검증하며, 군표 모델은 $1$-유형을 지원한다.