[논문 리뷰] Improved algorithms for left factorial residues

Vladica Andrejić, Alin Bostan외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 19.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 행렬 팩토리얼 표현과 나머지 트리 기법을 활용하여 모든 소수 p ≤ n에 대해 왼쪽 팩토리얼 잔여류 !p mod p를 계산하는 최적화된 알고리즘을 제시한다. 이로 인해 시간 복잡도는 O(n log³⁺⁰ n)로 감소한다. 저자들은 Kurepa의 추측에 대한 반례나 사회주의 소수의 존재 여부를 p < 240 범위까지 확장하여 검토하였으며, 고성능 하드웨어와 고급 정밀 산술 라이브러리를 사용하여 계산을 수행하였다.

ABSTRACT

We present improved algorithms for computing the left factorial residues $!p=0!+1!+...+(p-1)! \!\mod p$. We use these algorithms for the calculation of the residues $!p\!\mod p$, for all primes $p$ up to $2^{40}$. Our results confirm that Kurepa's left factorial conjecture is still an open problem, as they show that there are no odd primes $p<2^{40}$ such that $p$ divides $!p$. Additionally, we confirm that there are no socialist primes $p$ with $5<p<2^{40}$.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽 팩토리얼 잔여류 !p mod p를 더 빠르게 계산하기 위한 알고리즘 개발, 여기서 !p = 0! + 1! + ... + (p−1)!.
• 이전의 한계를 초월하여 Kurepa의 추측에 대한 반례가 존재할 가능성이 있는 범위를 확장하여 탐색.
• 조건 (!p−2)² ≡ 1 (mod p)에 기반해 5보다 큰 소수 p에 대해 사회주의 소수가 존재하지 않는지 검증.
• 행렬 팩토리얼 표현과 나머지 트리 기법을 활용한 계산 효율성 최적화.
• 독립적인 O(p⁰.⁵⁺⁰) 알고리즘을 통한 고정밀도 결과 검증 제공.

제안 방법

• 행렬 팩토리얼 Mn = C1C2⋯Cn = [[n!, !n], [0, 1]]을 통해 n!과 !n을 표현하며, 여기서 Ck = [[k, 1], [0, 1]].
• Fast Fourier Transform 기반 다항식 곱셈을 사용해 [4, 정리 8]을 적용하여 단일 잔여류 rp = !p mod p를 O(p⁰.⁵⁺⁰) 시간 내에 계산.
• 모든 소수에 대해 구간 (m, n] 내에서 동시에 잔여류를 계산하기 위해 제품 트리 구조를 사용하여 O((n−m) log³⁺⁰ n) 복잡도 달성.
• 4단계 계산 구현: (1) Pi,j에 대한 제품 트리, (2) 제품 트리를 사용해 Mm mod P0,0 계산, (3) Ai,j = ∏Ck mod Pi,j 계산, (4) Ri,j = Mm ⋅ ∏Ai,r mod Pi,j를 통해 rp 추출.
• 대규모 정수 산술을 위해 GMP와 NTT 라이브러리를 활용하고, 멀티스레딩과 SSD 캐싱을 통해 I/O 병목 현상을 최소화.
• 선택된 소수에 대해 NTL 라이브러리를 통한 독립적인 O(p⁰.⁵⁺⁰) 알고리즘을 활용해 결과 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kurepa의 추측에 어긋나는, 즉 p가 왼쪽 팩토리얼 !p를 나누는 홀수 소수 p < 240가 존재하는가?
• RQ2 2!, 3!, ..., (p−1)! mod p의 값들이 모두 서로 다를 조건을 만족하는 사회주의 소수 p > 5가 5 < p < 240 범위에 존재하는가?
• RQ3 모든 p < n에 대해 왼쪽 팩토리얼 잔여류 계산의 시간 복잡도를 O(n²/log n) 이하로 낮출 수 있는가?
• RQ4 큰 ℓ에 대해 구간 (2³⁴, 2⁴⁰) 내에서 |rp| < ℓ의 분포를 히ュ리스틱 모델이 얼마나 잘 예측하는가?
• RQ5 메모리-공간 트레이드오프 전략이 대규모 잔여류 계산에서 성능 향상에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• p < 240 범위 내에서 p | !p 를 만족하는 홀수 소수 p는 존재하지 않으며, 이는 Kurepa의 추측이 이 범위 내에서 반증되지 않았음을 확인한다.
• 5 < p < 240 범위에서 사회주의 소수 p는 존재하지 않으며, 이는 이전 결과를 p < 10¹¹까지 확장한 것이다.
• 구간 (2³⁴, 2⁴⁰) 내에서 |rp| < 10⁷ 인 소수의 수에 대한 히ュ리스틱 예측치는 3,250,379이며, 실제 수와 매우 유사한 3,250,456이다.
• |rp| < 100 인 경우, 구간 (2³⁴, 2⁴⁰) 내에서 24개의 소수가 발견되었으며, 기대치인 32보다 약간 낮지만, 더 큰 ℓ에 대한 히ュ리스틱 추정치와 일관된다.
• Phase 2(즉, Mm mod P0,0 계산)는 총 33,000 코어 시간 중 약 65%를 차지하며, 후속 블록에서는 최대 80%까지 소요되어 계산의 주요 병목 요소임을 보여준다.
• 구현 코드는 https://github.com/milostatarevic/left-factorial 에 공개되었으며, 64GB 메모리와 16TB 디스크 공간을 사용했고, 6코어 CPU를 활용하고 SSD 캐싱을 통한 최적화된 I/O 처리를 수행하였다.