[논문 리뷰] Improved Approximation Algorithms for the Non-preemptive Speed-scaling Problem

Evripidis Bampis, Giorgio Lucarelli외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 28.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중단 없이 실행되어야 하는 작업이 있는 비선점성 속도 조절 문제에 대한 향상된 근사 알고리즘을 제시한다. 새로운 알고리즘 프레임워크를 도입하여 작업을 일치 가능한, 클리크 또는 래미너 인스턴스로 분할하고, 최적의 선점형 스케줄링과 비선점성 속도 조절을 조합하는 이단계적 접근을 통해, $m$ 프로세서에서 일치 가능한 인스턴스에 대해 $(4(2 - 1/m))^{α-1}$-근사 비율을 달성한다.

ABSTRACT

We are given a set of jobs, each one specified by its release date, its deadline and its processing volume (work), and a single (or a set of) speed-scalable processor(s). We adopt the standard model in speed-scaling in which if a processor runs at speed s then the energy consumption is s^α per time unit, where α>1. Our goal is to find a schedule respecting the release dates and the deadlines of the jobs so that the total energy consumption is minimized. While most previous works have studied the preemptive case of the problem, where a job may be interrupted and resumed later, we focus on the non-preemptive case where once a job starts its execution, it has to continue until its completion without any interruption. We propose improved approximation algorithms for particular instances of the multiprocessor non-preemptive speed-scaling problem.

연구 동기 및 목표

• 작업 실행이 중단될 수 없는 비선점성 속도 조절 문제를 다루어, 동적 전압/주파수 스케일링 하에서 에너지 소비를 최소화한다.
• 비선점성 변형의 강한 NP-난이도를 극복하기 위해 특수 인스턴스 가족에 대한 효율적인 근사 알고리즘을 설계한다.
• 실제 스케줄링 제약을 모델링하는 실용적이고 구조화된 입력 클래스인 일치 가능한, 클리크 또는 래미너 인스턴스에 집중한다.
• 다중 프로세서 환경($m \geq 1$)에서 이전 작업에 비해 향상된 근사 보장을 제공한다.
• 최적의 선점형 스케줄을 하한 기준으로 활용하여 비선점성 스케줄링 결정을 안내하는 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 비판적 시간점 $T_1, \dots, T_k$ 기반으로 입력 작업을 $k$개의 연속된 시간 간격 기반 부분 인스턴스 $\mathcal{I}_1, \dots, \mathcal{I}_k$로 분할한다.
• 각 부분 인스턴스 $\mathcal{I}_\ell$에 대해 알려진 다항식 시간 알고리즘을 사용해 최적의 선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$을 계산한다.
• 비선점성 제약을 충족하도록 작업 속도와 실행 간격을 조정하여 각 선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$을 비선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$으로 변환한다.
• 핵심 구조적 성질을 활용: 인접한 부분 인스턴스의 두 작업은 활성 간격이 겹치지 않으며, 이는 스케줄 타당성을 보장한다.
• 실행 시간을 압축하기 위해 작업 속도를 2배로 증가시키는 속도 조절 변환을 적용하며, 이는 에너지 비용을 $2^{\alpha-1}$ 배로 증가시키지만, 정리 6에 의해 유계로 유지된다.
• 비선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$을 연결하여 최종 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}$을 구성하며, 모든 출시 및 마감 제약 조건을 충족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 프로세서에서 비선점성 속도 조절 문제에 대해 상수 요소 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 일치 가능한, 클리크 또는 래미너 인스턴스에서 비선점성 스케줄링의 최고 도달 가능한 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 동일한 제약 조건 하에서 비선점성 스케줄의 에너지 비용은 최적의 선점형 스케줄 비용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 일반 인스턴스를 부분 인스턴스로 분해할 수 있는가? 이 경우 비선점성 스케줄은 타당하고 근사 최적일까?
• RQ5 시간 간격 압축(속도 증가에 의한)은 비선점성 환경에서 에너지 소비에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 $m$ 프로세서에서 일치 가능한 인스턴스에 대해 비선점성 속도 조절 문제에 대해 $(4(2 - 1/m))^{α-1}$-근사 비율을 달성한다.
• 각 부분 인스턴스 $\mathcal{I}_\ell$에 대해 비선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$은 최적의 선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$보다 최대 $(2(2 - 1/m))^{α-1}$ 배 더 비싸다.
• 변환된 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$의 에너지 비용은 정리 6에 의해 압축된 간격에서의 선점형 스케줄 비용의 $2^{\alpha-1}$ 배 이내로 유계로 유지된다.
• 부분 인스턴스 $\mathcal{I}_\ell$의 임의의 작업의 마감 시간은 부분 인스턴스 $\mathcal{I}_{\ell+1}$의 임의의 작업의 출시 시간보다 엄격히 이르므로, 비선점형 스케줄의 연결이 타당하다.
• 최종 비선점형 스케줄 $\mathcal{S}_{npr}$의 총 에너지는 전체 인스턴스의 최적 선점형 스케줄 에너지의 $(4(2 - 1/m))^{α-1}$ 배 이내이다.
• 이 프레임워크는 일반적이며 공통 출시 일시, 공통 마감 일시, 순수-래미너 인스턴스와 같은 특수 케이스에 적용 가능하며, 이는 일치 가능한 클래스에 포함된다.