[논문 리뷰] Improved ARV Rounding in Small-set Expanders and Graphs of Bounded Threshold Rank

Shayan Oveis Gharan, Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 낮은 임계 랭크 그래프 및 소집합 확산성 그래프에서 Arora-Rao-Vazirani SDP 근사화의 최적 해가 유한한 수의 유계 반경 구역으로 거의 완전히 덮일 수 있음을 보여주는 구조 정리를 제시한다. 이는 ARV 근사화에 대해 $O(\sqrt{\log k})$의 근사율을 달성하는 라운딩 기법과, $k$개의 구역으로 덮는 데 사용된 $k$-번째 단계의 Sherali-Adams 계층에서의 상수 근사율을 제공한다. 여기서 $k$는 덮는 데 사용된 구역의 수이다.

ABSTRACT

We prove a structure theorem for the feasible solutions of the Arora-Rao-Vazirani SDP relaxation on low threshold rank graphs and on small-set expanders. We show that if G is a graph of bounded threshold rank or a small-set expander, then an optimal solution of the Arora-Rao-Vazirani relaxation (or of any stronger version of it) can be almost entirely covered by a small number of balls of bounded radius. Then, we show that, if k is the number of balls, a solution of this form can be rounded with an approximation factor of O(sqrt {log k}) in the case of the Arora-Rao-Vazirani relaxation, and with a constant-factor approximation in the case of the k-th round of the Sherali-Adams hierarchy starting at the Arora-Rao-Vazirani relaxation. The structure theorem and the rounding scheme combine to prove the following result, where G=(V,E) is a graph of expansion ϕ(G), λ_k is the k-th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian of G, and ϕ_k(G) = \min_{disjoint S_1,...,S_k} \max_{1 <= i <= k} ϕ(S_i) is the largest expansion of any k disjoint subsets of V: if either λ_k >> log^{2.5} k \cdot phi(G) or ϕ_{k} (G) >> log k \cdot sqrt{log n}\cdot loglog n\cdot ϕ(G), then the Arora-Rao-Vazirani relaxation can be rounded in polynomial time with an approximation ratio O(sqrt{log k}). Stronger approximation guarantees are achievable in time exponential in k via relaxations in the Lasserre hierarchy. Guruswami and Sinop [GS13] and Arora, Ge and Sinop [AGS13] prove that 1+eps approximation is achievable in time 2^{O(k)} poly(n) if either λ_k > ϕ(G)/ poly(eps), or if SSE_{n/k} > sqrt{log k log n} \cdot ϕ(G)/ poly(eps), where SSE_s is the minimal expansion of sets of size at most s.

연구 동기 및 목표

• 유계 임계 랭크 또는 소집합 확산성 그래프에서 균일한 희박한 컷 문제에 대한 다항시간 근사 알고리즘을 개발하기 위해.
• 유계 반경의 공역 덮개로 표현된 최적의 ARV 근사화 해의 구조적 특성화를 수립하기 위해.
• 기본적인 $O(\sqrt{\log n})$ 기준을 초월하여 제한된 그래프 클래스에서 ARV 라운딩 기법의 근사율을 향상시키기 위해.
• ARV 근사화에 대해 $k$-번째 단계의 Sherali-Adams 계층을 적용함으로써 시간이 $k$의 지수함수인 $2^{O(k)}$ 내에 상수 근사율을 달성할 수 있음을 보여주기 위해.
• 개선된 근사율이 증명적으로 효과가 있도록 하는 스펙트럼적 또는 확산 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 구조 정리 증명: 유계 임계 랭크 그래프 또는 소집합 확산성 그래프에서 ARV 근사화의 최적 해는 $k$개의 유계 반경의 공역으로 거의 완전히 덮일 수 있음을 증명한다.
• 메트릭 임bedding과 확률적 라운딩 기법을 사용하여 공역 덮개의 구조에서 컷을 구성한다.
• Frechet 임베딩 $f(v) = d(a_1, v)$를 기반으로 한 확률적 라운딩 기법을 적용하여 집합 $A$에서 $\ell_1$-이질도가 큰 컷을 유도한다.
• 삼각 부등식과 농도 집중 불등식을 활용하여 원래 메트릭 $d^2_{\mathbf{x}}$의 거리와 라운딩된 메트릭 $d(\cdot, \cdot)$의 거리를 연결한다.
• $k$-번째 단계의 Sherali-Adams 계층을 적용하여 근사화를 강화함으로써, 시간 $2^{O(k)}$ 내에 상수 근사율을 달성할 수 있도록 한다.
• 확률적 추론을 적용하여, 상수 확률로 라운딩된 메트릭이 집합 $A$에서 큰 $\ell_1$-이질도를 유지함을 보여주어 양호한 컷을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 임계 랭크 또는 소집합 확산성 그래프에서 ARV 라운딩 기법을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 어떤 스펙트럼적 또는 확산 조건 하에서 ARV 근사화가 $O(\sqrt{\log k})$ 근사율로 라운딩될 수 있는가?
• RQ3 ARV 근사화에 대해 $k$-번째 단계의 Sherali-Adams 계층을 적용하면 시간이 $k$의 지수함수인 $2^{O(k)}$ 내에 상수 근사율을 달성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 그래프에서 ARV 해의 구조적 성질이 더 나은 라운딩을 가능하게 하는가?
• RQ5 $\lambda_k$, $\phi_k(G)$, 그리고 ARV 근사화를 통한 달성 가능한 근사율 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유계 임계 랭크 또는 소집합 확산성 그래프에서 ARV 근사화의 최적 해는 $k$개의 유계 반경 공역으로 거의 완전히 덮일 수 있다.
• 이러한 그래프에서 ARV 근사화는 다항시간 내에 $O(\sqrt{\log k})$ 근사율로 라운딩될 수 있다.
• 만약 $\lambda_k \gtrsim \log^{2.5}k \cdot \phi(G)$ 또는 $\phi_k(G) \gtrsim \log k \cdot \sqrt{\log n} \cdot \log\log n \cdot \phi(G)$이면, ARV 근사화는 다항시간 내에 $O(\sqrt{\log k})$-근사율을 달성할 수 있다.
• ARV 근사화에서 시작하여 $k$-번째 단계의 Sherali-Adams 계층을 적용하면 시간 $2^{O(k)}$ 내에 상수 근사율을 달성할 수 있다.
• 라운딩 기법은 크기가 $2k$인 중심 집합 $C$를 기반으로 한 Frechet 임베딩을 구성함에 의존하며, 삼각 부등식과 메트릭 농도 집중을 통한 거리 보존 보장이 있다.
• 핵심 기술적 단계로 $\sum_{u,v \in A} |f(u) - f(v)| \gtrsim n^2 / \sqrt{\log k}$임을 보여주며, 이는 높은 확률로 양호한 컷을 유도한다.